用空间向量研究直线、平面的位置关系题型破解讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docxVIP

PAGE2/NUMPAGES2

《用空间向量研究直线、平面的位置关系》题型突破

重难点突破

1.用待定系数法求平面的法向量的步骤

(1)设平面的法向量为n=

(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=

(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组n

(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.

2.利用空间向量证明直线与直线平行的方法

要证明两直线平行,可先求出两直线的方向向量,然后证明两直线的方向向量共线,从而证明两直线平行.

3.利用空间向量证明直线与平面平行的方法

(1)利用共面向量法:证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a,b是共面向量,即满足p=xa+ybx

(2)利用共线向量法:证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线,再结合线面平行的判定定理即可证明直线与平面平行.

(3)利用法向量法:求出直线的方向向量与平面的法向量,证明方向向量与法向量垂直,从而证明直线与平面平行.

4.利用空间向量证明平面与平面平行的方法

(1)转化为直线与平面平行、直线与直线平行,然后借助向量共线进行证明.

(2)通过证明两个平面的法向量平行而得证.

5.利用空间向量证明直线与直线垂直的方法

(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.

(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.

6.利用空间向量证明直线与平面垂直的方法

(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积的运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.

(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.

(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量的坐标以及平面的法向量的坐标,然后说明直线的方向向量与平面的法向量共线,从而证得结论.

7.利用空间向量证明平面与平面垂直的方法

(1)利用空间向量证明平面与平面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将平面与平面垂直转化为直线与平面垂直,进而转化为直线与直线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得两个平面垂直.

(2)向量法证明平面与平面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.

典型例题剖析

题型1利用空间向量证明线线平行

例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1

解析:建立空间直角坐标系,证明AE=FC1,

答案:以点D为原点,以DA,DC,DD1分别为x轴、y

不妨设正方体的棱长为1,则A100

所以AE=

因为AE=

所以AE//

又因为F?AE,F?EC1,所以AE//FC1,E

易错提示:注意向量的平行与直线的平行不同,AE=FC1,说明AE//FC1或AE与

变式训练1如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1

答案:如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,

设DA=a,DC=b,DD1=c,则A

所以FE=

所以FE=13A

又FE与AC1不共线,所以

题型2利用空间向量证明线面、面面平行

例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C

解析:

答案:方法一:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则D000

设平面A1BD的法向量为

则n

即n?DA1=x+z=0,n

所以平面A1BD的一个法向量为

又MN?

所以MN?

所以MN//平面A1

方法二:MN

12D1A1-D1D=12

方法三:MN=C1N-C1M=12C1B1-12C1

变式训练2例2中的条件不变,试证明平面A1BD//平面

答案:由例2答案中的方法一知,C010

则CD

设平面CB1D

则m?C

取y1=1,则可得平面CB

又平面A1BD的一个法向量为

所以m=-n,所以

故平面A1BD//平面

点拨:只需证明平面CB1D1

变式训练3在如图所示的多面体中,EF?平面AEB,AE?EB,AD//EF,EF//BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点,求证:AB//平面DEG.

答案:因