初中三年级下学期数学《垂径定理》微课教学设计.docx

3.3垂径定理微课教学设计

《圆的对称性》教学设计

教学内容及内容解析

“垂径定理”是北师版九年级下册第三章《圆》第3节的内容，本课是进一步学习圆的轴对称性得到垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。它是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者，通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。

基于以上分析，本节的重点是：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力。

教学目标

1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；?

2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

?3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．?

教学问题诊断分析

学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。

因此本节课的教学难点是：用“折叠法”证明垂径定理，领悟垂径定理中的对称美。

教学过程设计（脚本）

PPT

内容

备注

同学们，上节课我们利用圆的旋转对称性探索了圆心角定理，而圆的轴对称性又能让我们有什么新的发现呢？一起进入今天的学习。

在☉O中有两条直径AB与CD，其中CD平分AB吗？

若将直径AB向下或向上移动，变成不是直径的弦，那么弦AB一定被直径CD平分吗？弦AB与直径CD满足怎样的位置关系时才能被平分呢？

结合圆的轴对称性，我们发现：当弦AB垂直于直径CD时，AB被直径CD平分。

如图，AB是☉O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为点P，你能发现图中有哪些等量关系呢？说一说你的理由。

相等的线段有AP=BP，OC=OD

相等的弧有弧AC=弧BC，弧AD=弧BD

因为直径CD所在的直线是圆O的对称轴，沿着对称轴折叠后，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，弧AC与弧BC，弧AD与弧BD重合，所以上述结论成立。但是数学一门严谨的学科，如何证明刚才的结论呢？我们一起来想想。

从已有的知识来看，常见的证明线段相等有证明三角形全等、等腰三角形三线合一等等，我们根据圆的特征选什么方法合适呢？

是的，因为圆的半径都是相等的，所以连接半径构造三角形是常见方法，再利用全等或三线合一都可解决问题。因此在本题中连接OA、OB，则有OA=OB，即△AOB是等腰三角形，又∵CD⊥AB，∴AP=BP且∠AOD=∠BOD，由补角的性质，可得∠AOC=∠BOC，再由圆心角定理可得弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。

我们将此性质形象地称为垂径定理，即：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。条件中的弦可以是直径，结论中的“平分弧”意味着平分弦所对的劣弧以及优弧。其几何书写如下：，条件中的CD是直径不可省略。

请判断下列图形是否满足备垂径定理的条件，若不具备，请说明理由。

图一满足；图二不满足，因为不垂直；图三满足；图四不满足，因为CD不是直径。由图3可以看出定理中“垂直于弦的直径”中的直径反映在图形上可以理解为过圆心的线段，比如将图3中的线段修改为线段OE，此图也是满足垂径定理的。

由此可以总结出以下几个垂径定理的基本图形，请同学们结合图形回忆垂径定理的内容。

若将垂径定理中的已知条件改为“弦被直径平分”，如此题，能否证明直径CD垂直于弦AB呢？请同学先思考。

是的，依然可以用之前的方法进行证明，之前我们利用等腰三角形三线合一证明的，现在我们用三角形全等来证明：连接半径是必不可少的，所以AO=BO，利用SSS可以证明△AOE≌△BOE，从而得到CD垂直于AB，而弧的相等可以利用垂径定理得到。

请同学们思考：本题中的弦AB可以是直径吗？若不能，请举出反例。是的，因为圆的两条直径是互相平分的，但不一定垂直，所以本题中的弦AB不能是直径，由本题的证明祝贺同学得到了垂径定理的推论。

垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。其几何书写为

请同学们特别要注意的是，垂径定理中弦可以是直径，但推论中的弦是不能为直径的。

接下来我们一起来看看垂径定理及其推论有怎样的应用呢？

练习讲解

练习讲解

最后我们一起来回顾一下与垂径定理有关的解题方法：在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离）的计算题，常常通过连半径或利用垂径定理作弦心距构造直角三角形，再利用勾股定理求解。

今天这节课就到这里，同学们再见！