甘肃省2023-2024学年高一下学期期末学业水平质量测试数学（原卷版）.docxVIP

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高一下学期期末学业水平质量测

数学试卷

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置

2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如何改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式：（其中为锥体的底面积，为锥体的高）.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知，分别为边，的中点，若，，则点的坐标为（）

A. B. C. D.

2.盒中有3个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球，从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个红球一个白球的概率为（）

A. B. C. D.

3.设，则（）

A. B. C. D.

4.若复数满足，则的最大值为（）

A.1 B. C.2 D.3

5.从1，2，3，4中任取2个数，设事件“2个数都为偶数”，“2个数都为奇数”，“至少1个数为奇数”，“至少1个数为偶数”，则下列结论正确的是（）

A.与是互斥事件 B.与是互斥但不对立事件

C.与是互斥事件 D.与是对立事件

6.在中，点是线段上一点，若，则（）

A. B. C. D.

7.已知三棱锥中，平面，，，，则此三棱锥外接球表面积为（）

A. B. C. D.

8.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（）

A. B. C. D.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9已知复数，则（）

A.的虚部是 B.

C.在复平面内对应的点位于第二象限 D.是纯虚数

10.下列各式的值为的是（）

A. B.

C. D.

11.如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则下列判断正确的是（）

A.三棱锥的体积是定值

B.过，，三点的平面截正方体所得的截面是六边形

C.存在唯一的点，使得

D.与平面所成的角为定值

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为______.

13.在中，点为线段的中点，若，，，则______.

14.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生二仪，二仪生四象，四象生八卦，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.八卦图与太极图（图1）的轮廓分别为正八边形和圆（图2），其中正八边形的中心是点，鱼眼（黑、白两点），是圆半径的中点，且关于点对称.若，圆的半径为3，当太极图转动（即圆面及其内部点绕点转动）时，的最大值为______.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.已知，，.

（1）求的值；

（2）求的值.

16.兰州机场停车场小型机动车收费标准为：30分钟内免费.停车时长在30分钟至1小时之间的，收费为5元/辆.超过1小时后，超出部分每小时收费5元，不足1小时按1小时计费24小时内最高收费50元.现有甲、乙二人在该机场临时停小型机动车，两人停车时间均大于半小时且不超过4小时.

（1）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于10元的概率为.求甲停车付费恰为5元的概率；

（2）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为25元的概率.

17.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面.，是中点.

（1）求证：∥平面；

（2）求点到平面的距离.

18.记内角的对边分别为.已知.

（1）求；

（2）若是线段上的一点，，，且内角，求的最小值.

19.定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离.

（1）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么的取值范围是多少？

（2）已知A，B两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么的取值范围是多少？

（3）若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由.