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江苏省南京市第一中学2025届高三暑期阶段性测试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合且，则称构成的一个二次划分.任意给定一个正整数，可以给出整数集的一个次划分，其中表示除以余数为的所有整数构成的集合.这样我们得到集合，称作模的剩余类集.模的剩余类集可定义加减乘三种运算，如，（其中为除以的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过定义倒数就可以了，但不是所有中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（????）

A．能构成素域当且仅当是素数 B．

C．是最小的素域（元素个数最少） D．

2．“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知复数z满足，则中不同的数有（????）

A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确

4．若单位向量满足，向量满足，则（????）.

A． B． C． D．

5．17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程改写成①，将再代入等式右边得到，继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行，取时，由此得到数列，，，，，记作，则当足够大时，逼近实数．数列的前2024项中，满足的的个数为（参考数据：）

A．1007 B．1009 C．2014 D．2018

6．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（????）

A． B． C． D．

7．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲?乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲?乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲?乙两人训练的轮数至少为（????）

A．27 B．24 C．32 D．28

8．已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（????）

A． B．

C．数列是递增数列 D．

二、多选题

9．如图所示，在五面体中，四边形是矩形，和均是等边三角形，且，，则（????）

A．平面

B．二面角随着的减小而减小

C．当时，五面体的体积最大值为

D．当时，存在使得半径为的球能内含于五面体

10．已知椭圆，双曲线（，），椭圆与双曲线有共同的焦点，离心率分别为，，椭圆与双曲线在第一象限的交点为且，则（????）

A．若，则

B．的最小值为

C．的内心为，到轴的距离为

D．的内心为，过右焦点做直线的垂线，垂足为，点的轨迹为圆

11．已知函数定义域为，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，（其中表示不超过的最大整数），则（????）

A．是偶函数 B．

C． D．

三、填空题

12．是双曲线，则的范围为．

13．若数列满足对任意，数列的前项至少有项大于，且，则称数列具有性质．若存在具有性质的数列，使得其前n项和恒成立，则整数的最小值是．

14．黎曼猜想由数学家波恩哈德?黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题

（1）；（其中表示不超过的最大整数，.）

（2）已知正项数列的前项和为，且满足，则.

四、解答题

15．已知函数

(1)讨论fx

(2)证明:当a≥1时,

(3)证明:

16．有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k类，这k类元素中每类分别中个，，将这个元素全部取出的排列叫做个不尽相异元素的全排列．

(1)求上述个不尽相异的元素的全排列数．

(2)由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？”

17．如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置.

(1)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围；

(2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段