第一章 1.2.2-经典教学教辅文档.pptx

1.2.2同角三角函数的基本关系第一章§1.2任意角的三角函数

学习目标1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.

问题导学达标检测题型探究内容索引

问题导学

知识点同角三角函数的基本关系式思考1计算下列式子的值：(1)sin230°＋cos230°；(2)sin245°＋cos245°；(3)sin290°＋cos290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它.答案3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin2α＋cos2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sinα＝y，cosα＝x.∴sin2α＋cos2α＝x2＋y2＝|OP|2＝1.

思考2由三角函数的定义知，tanα与sinα和cosα间具有怎样的等量关系？

梳理(1)同角三角函数的基本关系式①平方关系： .②商数关系：____________________________.(2)同角三角函数基本关系式的变形①sin2α＋cos2α＝1的变形公式sin2α＝ ；cos2α＝ .②tanα＝的变形公式sinα＝ ；cosα＝______.sin2α＋cos2α＝11－cos2α1－sin2αcosαtanα

[思考辨析判断正误]1.sin2α＋cos2β＝1.()提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1.答案提示×√×

题型探究

类型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值答案解析√

答案解析√

反思与感悟(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等价转化，分析解决问题的突破口.

跟踪训练1已知tanα＝，且α是第三象限角，求sinα，cosα的值.解答又sin2α＋cos2α＝1， ②又α是第三象限角，

命题角度2已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值解答

∴α是第二或第三象限角.(1)当α是第二象限角时，则(2)当α是第三象限角时，则

反思与感悟利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解.

∴α是第一或第四象限角.(1)当α是第一象限角时，则解答

类型二齐次式求值问题解答例3已知tanα＝2，求下列代数式的值.

反思与感悟(1)关于sinα，cosα的齐次式，可以通过分子、分母同除以cosα或cos2α转化为关于tanα的式子后再求值.(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tanα的代数式.

解答所以tanα＝3.

解答(2)sin2α－2sinαcosα＋1.

类型三三角函数式的化简与证明解答

证明∴原等式成立.

反思与感悟(1)三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.

(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简.②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一).③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0).④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.

解答解因为α是第二象限角，所以sinα0，cosα0.

达标检测

答案12345√解析

答案解析12345√

答案解析12345√

答案12345√

12345证明

12345证明方法一(比较法——作差)

12345方法二(比较法——作商)

规律与方法1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函