初中三年级下学期数学《垂径定理》教学课件.pptx

3.3*垂径定理

探究一问题1：（1）在?O中有两条直径AB与CD，CD平分AB吗？（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？那么非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB被直径CD平分？OABCDOABCD

问题2：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和弧呢？说一说你的理由.线段:AP=BP，OC=OD弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合；AC与BC、AD与BD也分别重合．⌒⌒⌒⌒·OABDPC探究二

问题3：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为P.求证：AP=BP，AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒·OABDPC证明：连接OA、OB，则OA=OB.即△AOB是等腰三角形.∵CD⊥AB，∴AP=BP，⌒⌒AC=BC.∴AD=BD，⌒⌒∠AOD=∠BOD.从而∠AOC=∠BOC.探究三

垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.∵CD是直径，CD⊥AB∴AP=BP,⌒⌒AC=BC,·OABCDP几何书写：可以是直径劣弧或优弧AD=BD⌒⌒

想一想：下列图形是否满足垂径定理的条件？如果不满足，请说明理由.垂径定理是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE

垂径定理的几个基本图形：垂径定理

·OABCDE（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒解：（1）连接AO、BO，则AO=BO又∵AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）∴∠AEO=∠BEO=90°∴CD⊥AB.如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒⌒垂径定理推论

·OABCDE如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD交AB于点E，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒⌒垂径定理推论思考：本题中弦AB可以是直径吗？若不能，请举出反例.·OABCD圆的两条直径互相平分但不一定垂直.

垂径定理推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.垂径定理推论：·OABCDE∵直径CD平分弦AB∴CD⊥AB，⌒⌒AC=BC,几何书写：AD=BD⌒⌒

垂径定理及其推论的应用例1如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O的直径为()A．8B．10C．16D．20D分析：连接OC.根据垂径定理得CE＝CD＝6.在Rt△OEC中，设OC＝x，由BE＝2，得OE＝x－2，∴(x－2)2＋62＝x2，解得x＝10，即直径AB＝20.

垂径定理及其推论的应用例2如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径.●OCDEF┗解:连接OC.设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m.

方法归纳在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离）的计算题，常常通过连半径或利用垂径定理作弦心距构造直角三角形，再利用勾股定理求解.弦a，弦心距d，半径r之间有以下关系：ABCDOhrd

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