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高中数学概率与统计真题(解析版)--第1页

高中数学

专题23概率与统计真题汇编

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1．在1，2，3…，10中随机选出一个数a，在-1，-2，-3.…，-10中随机选出一个数b，则a+b被3整除的

概率为.

【答案】

【解析】若a∈{1，2，4，5，7，8，10}，.

若.

若a∈{3，6，9}，.

若.

2

∴a+b为3的倍数的概率为.

2．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abc+def是偶数的概率为

.

【答案】

【解析】先考虑abc+def为奇数的情况，此时abc，def一奇一偶，若abc为奇数，则a，b，c为1，3，5的

排列，进而d，e，f为2，4，6的排列，这样有3！×3！=36种情况，由对称性可知，使abc+def为奇数的

情况数为36×2=72种.从而abc+def为偶数的概率为.

3．袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元纸币．现随机

从两个袋子中各取出两张纸币．则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为

________.

【答案】

【解析】

一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而，

.故只能从A中取走两张1元纸币，相应的取法数为.

又此时，即从B中取走的两张纸币不能均为1元纸币，相应有种取法．

因此，所求的概率为.

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4．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为______.

【答案】

【解析】

设正方体为，共12条棱，从中任意取出三条棱的方法有种.

下面考虑使三条棱两两异面的取法数.

由于正方体棱共确定三个互不平行的方向(即的方向)，具有相同方向的四条棱两两共面，因此，

取出的三条棱必属于三个不同的方向.可先取定方向的棱，这有四种取法.

不妨设取的棱为.则方向只能取棱，共两种可能.当方向取棱时，方向取棱分别

只能为.

综上，三条棱两两异面的取法数为8.

故所求概率为.

5．设A、B、C、D为空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是

相互独立的，则点A与B可用(一条边或者若干条边组成的)空间折线连接的概率为_______.

【答案】

【解析】

每对点之间是否连边有2种可能，共有种情形.考虑其中点A、B可用折线连接的情形数.

(1)有边AB：共种情形.

(2)无边AB，但有边CD：此时，点A、B可用折线连接当且仅当点A与C、D中至少一点相连，且点B与C、

D中至少一点相连，这样的情形数为.

(3)无边AB，也无边CD：此时，AC与CB相连有种情形，AD与DB相连也有情形，但其中AC、CB、AD、

DB均相连的情形被重复计了一次，故点A与B可用折线连接的情形数为