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(每日一练)通用版初中数学图形的性质几何图形初步知识总结例题
单选题
1、如图,已知⊙O的半径为4,M是⊙O内一点,且OM=2,则过点M的所有弦中,弦长是整数的共有()
A.1条B.2条C.3条D.4条
答案:C
解析:
过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B,根据勾股定理求出AM,根据垂径定理求出AB,进而得到答案.
解:过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B,连接OA,
1
则AM=BM=AB,
2
在Rt△AOM中,AM=√2−2=√42−22=2√3,
∴AB=2AM=4√3,
则4√3≤过点M的所有弦≤8,
1
则弦长是整数的共有长度为7的两条,长度为8的一条,共三条,
故选:C.
小提示:
本题考查了垂径定理,勾股定理,掌握垂直于选的直径平分这条弦,并平分弦所对的两条弧是解题关键.
2、点P是⊙内一点,过点P的最长弦的长为10cm,最短弦的长为6cm,则OP的长为()
A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm
答案:B
解析:
根据直径是圆中最长的弦,知该圆的直径是10cm;最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦;根据垂径
定理即可求得CP的长,再进一步根据勾股定理,可以求得OP的长.
解:如图所示,CD⊥AB于点P.
根据题意,得
AB=10cm,CD=6cm.
∴OC=5,CP=3
∵CD⊥AB,
1
∴CP=CD=3cm.
2
根据勾股定理,得OP=√2−2=4cm.
故选B.
2
小提示:
此题综合运用了垂径定理和勾股定理.正确理解圆中,过一点的最长的弦和最短的弦.
3、已知:如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B点,C为⊙O上一点,∠ACB=65°,则∠APB等于()
A.65°B.50°C.45°D.40°
答案:B
解析:
连接OA,OB.根据圆周角定理和四边形内角和定理求解即可.
连接OA,OB,
∵PA、PB切⊙O于点A、B,
∴∠PAO=∠PBO=90°,
由圆周角定理知,∠AOB=2∠ACB=130°,
∴∠APB=360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣130°=50°.
故选:B.
小提示:
本题考查了切线的性质、圆周角定理、以及四边形的内角和为360度.
解答题
3
4、阅读下面材料,并按要求完成相应的任务:
阿基米德是古希腊的数学家、物理学家,在《阿基米德全集》里,他关于圆的引理的论证如下:
命题:设是一个半圆的直径,并且过点的切线与过该半圆上的任意一点的切线交于点,如果作垂直
于点,且与交于点,则=.
证明:如图①,延长与交于点,连结,,
∵,与⊙相切,
∴…,①
∴=.
∵是半⊙的直径,∴∠=90°,②
在△中,=,得到∠=∠,
可得∠=∠,∴==.
又∵//,∴=,=,∴=,
又∵=,∴=.
任务:
4
(1)请将①部分证明补充完整;
(2)证明过程中②的证明依据是______;
(3)如图②,△是等边三角形,是⊙的切线,切点是,在⊙上,⊥,垂足为,连接,
交于点,若⊙的半径为2,求的长.
答案:(1)见解析;(2)直径所对的圆周角是直角;(3)21.
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