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附件：数学在结构设计中的应用

拓扑分析和参数化设计理念

结构设计的关键是满足功能需求的传力路径设计，涉及到材料选择，构型选择，各种与受力相关的内在比例关系，结构的局部和整体稳定分析，结构和材料的非线性分析等。一个优秀的结构设计，在于把握材料特性，找到匹配材料特性的结构造型（通过评价函数的优化求解达到）。结构受力合不合理，关键在构型和比例关系的拟定上面。

构型的拟定可以通过比拟方法，参考自然选择（最低能量原理），也可以通过数学分析的方法求解。

无量纲拓扑优化——分离参数的类分析方法

量纲参数：一般指荷载大小，荷载传递到边界的距离等设计已知量；

型参数：一般指荷载传递路径的构型比例，可以是角度比例，也可以是长度比例；

类分析：参照计算机语言中类的定义和继承，对同一问题的统一解答，建立可以继承的同一类结构的优化构造方式；

拓扑优化：通过构造评价函数来统计不同传力路径的材料用量（或价值总量等），通过偏分求导，得到最优构型的比例关系；

参数化设计：利用类分析和拓扑优化，构造不同传力结构的最优解，固化在不同结构的设计中，设计时只需要输入量纲参数，就能够得到不同方案的参数化设计模板，快速求解结构的最优设计尺寸和内力，拟定结构尺寸后可以导入有限元分析软件和绘图软件，进行结构的设计工作，以求达到智能快速的设计目标。

型参数和量纲参数的定义和分离：在结构设计中，量纲参数的指数均为1次，可以作为一个整体系数予以分离，构型参数一般是非线性的，可以通过偏分优化比例关系，从而得到整体优化的设计结果。

类分析方法评价函数构造和分析流程：

（1）确定传力路径所需要的主要构造方式及单元类型（梁单元，桁架单元，索单元等）和单元数，对称结构利用结构的对称性，减少分析变量；

（2）按照构型和角度关系，按照静力法分解各单元的长度和内力；

（3）给各单元赋值权重系数（桁架单元和梁单元等，按照拉压杆的稳定系数倒数赋值，索单元可以按照价值比赋值）；

（4）构造总体评价函数f，等于各单元内力和长度之积乘以权重之后的和值；

（5）固定边界条件（初始力和传力长度，锚固边界长度等），采用偏分方程求解其余各构型的最优角度（或者长度比例关系），得到一定初始条件下的拓扑优化最优结构。

有侧向位移的半刚性节点立杆的稳定荷载

xxxxxxx

如图所示，一根压杆下段铰支，上端受轴压力N，按照步距l分布n个节点，节点收到水平弹性约束和转角约束；K和S分别为弹簧刚度和转角刚度。

设压杆变形后的曲线方程为：

弹簧压缩势能U1：

转角弹簧势能U2：

杆件弯曲势能U3：

外力势能Pe：

杆件总势能：

将（1）代入（6）；

对（7）求变分：

展开后合并同类项：

其中

代入边界：

分离变分得到方程组：

（11）

（12）

（13）

（14）

上面几个方程分别为欧拉拉格朗日方程，自然边界条件，约束边界条件。

求解方程组得到半刚性节点的压杆稳定计算公式：

（K≠0，S≠0）（15）

（K=0，S≠0）（16）

（K=0,S=0）（17）

从以上公式推导过程看出，若K=0，S=0，则结果为压杆稳定欧拉公式。

一般来说，满堂支架发生坍塌，规律为支架均往一侧倾斜坍塌，可以近似认为满堂支架之间的横杆水平弹性约束K=0，按照（16）式来考察计算压杆稳定荷载。

（16）式的结构为：

（18）

_z满足方程：