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考点2等差数列的判定与证明

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或．

2.等差数列的通项公式

等差数列的首项是，公差是，求．

由等差数列的定义：，，，……

∴，，，……

所以，该等差数列的通项公式：．

3.等差中项

假设a，b，c三个数按这个顺序排列成等差数列，那么b叫a，c的等差中项

4.等差数列的前项和公式

公式二又可化成式子：

，当d≠0，是一个常数项为零的二次式

5.性质：

等差数列{an}中，公差为d，

假设d＞0，那么{an}是递增数列；

假设d=0，那么{an}是常数列；

假设d＜0，那么{an}是递减数列．

成等差数列，且公差为md。

6.充要条件的证明：

考法1等差数列的判定和证明

〔1〕定义法：对于n》=2的任意自然数，an-an-1为同一个常数

〔2〕等差中项法：2an-1=an+an-2判定

〔3〕通项公式法判定

〔4〕前n项和公式法:Sn=An2+Bn判定

考法2等差数列的根本运算

等差数列{an}中，a1和d是根本的两个量，可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式，与等差数列有关的根本计算问题，主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共有五个量：a1、d，n，an，sn

例1：(2013浙江)(14分)在公差为d的等差数列{an}中，a1＝10，且a1,2a2＋2,5a

(1)求d，an；

(2)假设d＜0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

例2：(2013四川)(本小题总分值12分)在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．

考法3等差数列的性质〔首项、项数、公差〕

例3：在等差数列中，a2=1，a4=5,那么的前5项和=B

A.7B.15C.20D.25

(二)解题方法指导

例1．设{an}是等差数列，前n项和为Sn.

(1)a6=5，a3+a8=5，求a9；

(2)a1+a2+a3＝15，a1a2a3＝80，求a11+a12+

(3)a10=10，S10=70，求公差d；

(4)S3=9，S6=36，求a7+a8+a9．

例2．两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，那么使得为整数的正整数n的个数是()

(A)2 (B)3 (C)4 (D)5

例3．函数

(Ⅰ)假设x1+x2=1，求f(x1)+f(x2)的值；

(Ⅱ)设，求数列{an}的前2010项的和．

例4．数列{an}的前n项和为Sn=npan(n∈N*)且a1≠a2，

(Ⅰ)求常数p的值； (Ⅱ)证明：数列{an}是等差数列．

例题解析

等差数列

例1分析：等差数列的根本量a1，d的应用及通项公式、前n项和公式是解决问题的根本方法和思路.

解：(1)由a6＝5，a3＋a8＝5，得(5－3d)＋(5＋2d)＝5，所以d＝5.a9＝a6＋3d＝5＋3×5＝20.

(2)由a1＋a2＋a3＝15，得a2＝5.又a1a2a3＝80，即(5－d)×5×(5＋d

∴d＝±3.

当d＝3时，a11＋a12＋a13＝(a1＋a2＋a3)＋30d＝15＋3×30＝105；

当d＝－3时，a11＋a12＋a13＝(a1＋a2＋a3)＋30d＝15＋(－3)×30＝－75.

(3)由a10＝10，S10＝70，得，所以a1＝4.故

(4)由于数列{an}成等差数列，∴S3，S6－S3，S9－S6也成等差数列，

∴a7＋a8＋a9＝2(S6－S3)－S3＝2S6－3S3＝72－27＝45.

小结：(1)灵活运用等差数列中的公式an＝am＋(n－m)d及其变形公式解决问题；

(2)数列{an}成等差数列，∴Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，

例2分析：由等差数列的前n项和的特点，知其常数项为零，可设出相应和的形式或利用等差数列的中项性质解决.

解－：由题意，设An＝(7n＋45)nk，Bn＝(n＋3)nk，那么an＝An－An－1＝14nk＋38k，bn＝Bn－Bn－1＝2nk＋2k，

，要使为整数，那么正整数n＝1，2，3，5，11，应选D．

解二：

下同法一.

小结：此题解法颇多，对通项与前n项和的关系进行必要的考查.

例3分析：利用题(Ⅰ)，寻找规律.

解：(Ⅰ)由x1＋x2＝1，得x2＝1