高数下8.1向量及其线性运算-2.pptVIP

*********第一节向量及其线性运算一、向量及其几何表示二、向量的线性运算三、数轴上向量的表示向量(vector)：既有大小又有方向的量.一、向量及其几何表示向径：平面直角坐标系中任一点与原点构成的向量.表示法:向量的模:向量的大小,记有向线段,或a,或.自由向量：不考虑起点、终点位置的向量.模为1的向量叫做单位向量；记作任意非零向量与其单位向量的关系为零向量的起点与终点重合，它的方向可以看成是任意的。模为零的向量叫做零向量，记作规定:零向量与任何向量平行;若向量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;若向量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,a∥b;与a的模相同,但方向相反的向量称为a的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称两向量共线.若k(≥3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此k个向量共面.记作－a;空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.二、向量的线性运算向量的加法（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）(commutativity)(associativity)（4）三角不等式向量的减法：平行四边形法则三角形法则三角形法则可推广到多个向量相加.向量与数的乘法设是一个数,向量与的乘积规定为(1)与同向,(2)(3)与反向,数与向量的乘积符合下列运算规律:(1)(2)注:线性运算.结合律:分配律:向量的相加以及数与向量的乘积统称为向量的例1解：化简根据向量的数乘运算法则例2解在平行四边形ABCD中,设,试用和表示向量和,这里M是平行四边形对角线的交点.如图,因平行四边形所以的对角线互相平分,解如图,因平行四边形所以的对角线互相平分,解如图,因平行四边形所以的对角线互相平分,两向量平行的充要条件定理1设向量那么向量平行于的充分必要条件是:存在唯一的实数使证充分性显然;必要性设取当与同向时取正值,当与反向时取负值,即有此时与同向,且的唯一性l设又设两式相减,得两向量平行的充要条件的唯一性l设又设两式相减,得故即量与数的乘积的规定,设表示与非零向量同方向的单位向量,注:个与原向量同方向的单位向量,向量单位化.即按照向上式表明一个非零向量除以它的模的结果是一这一过程又称为将*********