高数下12.3一般常数项级数.pptVIP

绝对收敛级数的性质定理3设级数绝对收敛,则重排的级数也绝对收敛,定理3的结论表明:对收敛的条件下满足加法的交换律.绝对收敛的级数有很多性质是条件收敛所没有的.下面的定理表明:换律.且可数无限多个数相加在满足绝条件收敛的级数不满足加法的交*定理4设是条件收敛级数,则对任意给定绝对收敛级数的性质*定理4设是条件收敛级数,则对任意给定绝对收敛级数的性质*定理4设是条件收敛级数,则对任意给定的一个常数都必定存在级数的一个重排级数*定理5设是条件收敛级数,重排级数使得使得或的则存在定理3设级数绝对收敛,则重排的级数也绝对收敛,证先设为正项级数,收敛,设其和为s.这时显然有又也是正项级数,件是部分和有界,且由条件知由正项级数收敛的充要条也是收敛的正项级数,知并且有并且有并且有又因为也可看成是级数的一个重排级数,同理有所以现在设为一般的绝对收敛级数.记显然有显然有显然有而由比较判别法知,由知重排后的级数也都收敛,并且有均收敛.正项级数由此可知,即绝对收敛,也收敛,级数并且有一、交错级数及其审敛法三、绝对收敛级数的性质第三节一般常数项级数二、绝对收敛与条件收敛一、交错级数若交错级数定理1(莱布尼茨定理)满足条件:若称级数为交错级数.对交错级数,我们有下面的判别法.则级数收敛,和1());,2,1(1L=3+nuunn)2(,0lim=￥?nnu并且它的证设题设级数的部分和为由交错级数证设题设级数的部分和为由交错级数证设题设级数的部分和为由易见数列是单调增加的,即数列是有界的,由条件有所以从而题设级数收敛于和且又由条件的极限存在.故设交错级数所以从而题设级数收敛于和且交错级数所以从而题设级数收敛于和且推论1若交错级数满足莱布尼茨定理的条件,部分和作为级数和的近似值时,即证交错级数的余项的绝对值则以其误差不超过注:其中的判别交错级数交错级数注:其中的判别交错级数交错级数注:其中的判别交错级数收敛性时,可通过验证当充分大时来判断当n充分大时数列的单调减少;有困难,在)来求单调减少不容易判断,如果数列如果直接求极限(假定它存亦可通过求例1解满足:判断级数的收敛性.易见题设级数的一般项所以级数收敛,其和用近似产生的误差例2解有又利用洛必达法则有是交错级数.判断的收敛性.由于所以令即时,是递减数列,则由莱布尼茨定理知该级数收敛.例3.证明级数收敛.解：显然由莱布尼兹判别法，该级数收敛。二、绝对收敛与条件收敛考察一般的常数项级数其中可以是正数、负数或零.对应级数可以构造一个正项级数称级数为原级数的绝对值级数.定理2如果收敛,收敛.则绝对收敛与条件收敛定理2如果收敛,收敛.则绝对收敛与条件收敛定理2如果收敛,收敛.则证由于且级数收敛,又所以级数收敛.根据这个定理,收敛,故由比较判别法知证毕.我们可以将许多一般常数项级数的绝对收敛与条件收敛根据这个定理,我们可以将许多一般常数项级数的绝对收敛与条件收敛根据这个定理,我们可以将许多一般常数项级数的收敛性判别问题转化为为此先给出以下定义.定义1设为一般常数项级数,则当收敛时,称为绝对收敛;当发散,但收敛时,条件收敛.根据上述定义,对于一般常数项级数,我们应当判正项级数的收敛性判别问题.称绝对收敛与条件收敛条件收敛.根据上述定义,对于一般常数项级数,我们应当判绝对收敛与条件收敛条件收敛.根据上述定义,对于一般常数项级数,我们应当判别它是绝对收敛,般常数项级数的绝对收敛性时,级数的判别法来讨论.条件收敛,还是发散.而判断一我们可以借助正项例4解题设级数绝对收敛;敛,故题设级数条件收敛.判别级数的收敛性.由易见当时,当时,但发散,由莱布尼茨定理知收例5解故由定理知原级数绝对收敛.判别级数的收敛性.而收敛,收敛,例6解有因此所给级数发散.判