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§9.4列联表与独立性检验
考试要求1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例,了解独立性检验及其应用.
学问梳理
1.分类变量
为了表述便利,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区分不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示.
2.列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表:
X
Y
合计
Y=0
Y=1
X=0
a
b
a+b
X=1
c
d
c+d
合计
a+c
b+d
n=a+b+c+d
(2)计算随机变量χ2=eq\f(n?ad-bc?2,?a+b??c+d??a+c??b+d?),利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验.
如表为5个常用的小概率值和相应的临界值.
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
思考辨析
推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.(√)
(2)大事A和B的独立性检验无关,即两个大事互不影响.(×)
(3)χ2的大小是推断大事A和B是否相关的统计量.(√)
(4)在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,则说明两个分类变量之间关系越强.(×)
教材改编题
1.某机构为调查网游爱好者是否有性别差异,通过调研数据统计:在500名男生中有200名爱玩网游,在400名女生中有50名爱玩网游.若要确定网游爱好是否与性别有关时,用下列最适合的统计方法是()
A.均值 B.方差
C.独立性检验 D.回归分析
答案C
解析由题意可知,“爱玩网游”与“性别”是两类变量,其是否有关,应用独立性检验推断.
2.如表是2×2列联表,则表中a,b的值分别为()
y1
y2
合计
x1
a
8
35
x2
11
34
45
合计
b
42
80
A.27,38 B.28,38
C.27,37 D.28,37
答案A
解析a=35-8=27,b=a+11=27+11=38.
3.已知P(χ2≥6.635)=0.01,P(χ2≥10.828)=0.001.在检验宠爱某项体育运动与性别是否有关的过程中,某争辩员搜集数据并计算得到χ2=7.235,则依据小概率值α=________的χ2独立性检验,分析宠爱该项体育运动与性别有关.
答案0.01
解析由于6.6357.23510.828,所以依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,分析宠爱该项体育运动与性别有关.
题型一列联表与χ2的计算
例1(1)为了解某高校的同学是否宠爱体育熬炼,用简洁随机抽样方法在校内内调查了120位同学,得到如下2×2列联表:
男
女
合计
宠爱
a
b
73
不宠爱
c
25
合计
74
则a-b-c等于()
A.7B.8C.9D.10
答案C
解析依据题意,可得c=120-73-25=22,a=74-22=52,b=73-52=21,
补充完整2×2列联表为:
男
女
合计
宠爱
52
21
73
不宠爱
22
25
47
合计
74
46
120
∴a-b-c=52-21-22=9.
(2)为加强素养教育,使同学各方面全面进展,某学校对同学文化课与体育课的成果进行了调查统计,结果如表:
体育课不及格
体育课及格
合计
文化课及格
57
221
278
文化课不及格
16
43
59
合计
73
264
337
在对体育课成果与文化课成果进行独立性检验时,依据以上数据可得到χ2的值为()
A.1.255 B.38.214
C.0.0037 D.2.058
答案A
解析χ2=eq\f(n?ad-bc?2,?a+b??c+d??a+c??b+d?)
=eq\f(337×?57×43-16×221?2,278×59×73×264)≈1.255.
思维升华2×2列联表是4行4列,计算时要精确?????无误,关键是对涉及的变量分清类别.
跟踪训练1某次国际会议为了搞好对外宣扬工作,会务组选聘了50名记者担当对外翻译工作,在如表“性别与会外语”的2×2列联表中,a+b+d=________.
会外语
不会外语
合计
男
a
b
20
女
6
d
合计
18
50
答案44
解析由题意得a+b+d+6=50,
所以a+b+d=50-6=44.
题型二列联表与独立性检验
例2(2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营.为了解这两家公司长途客车的运行状况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
(1)依据上表,分
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