高数下7.3可降阶的二阶微分方程.pptVIP

为曲边的曲边梯形面积上述两直线与x轴围成的三角形面例11.二阶可导,且上任一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,区间[0,x]上以解:于是在点P(x,y)处的切线倾角为?,满足的方程.积记为(99考研)第四节可降阶的二阶微分方程三、型的微分方程型微分方程这是最简单的二阶微分方程,求解方法是逐次积分.在方程两端积分,得再次积分,得注:这种类型的方程的解法,可推广到阶微分方程只要连续积分次,就可得这个方程的含有个任意常数的通解.每积分一次要加一个常数。例1解的特解.对所给方程接连积分二次,得求方程满足在中代入条件得在中代入条件得从而所求题设方程的特解为例2解代入题设方程,得解线性方程,即两端积分,得求方程的通解.设得(为任意常数),再积分得到所求题设方程的通解为例2解求方程的通解.再积分得到所求题设方程的通解为例2解求方程的通解.再积分得到所求题设方程的通解为进一步通解可改写为其中为任意常数.其中为任意常数.例3解线运动.如果开始时质点位于原点,且初速度为零,求这质点的运动规律.由牛顿第二定律,得质点运动的微分方程质量为的质点受力的作用轴作直沿设力仅是时间的函数:在开始时刻时随着时间的增大,此力均匀地减少,直到时,设在时刻质点的位置为由题设,随增大而均匀地减少,例3解由牛顿第二定律,得质点运动的微分方程设在时刻质点的位置为由题设,随增大而均匀地减少,例3解由牛顿第二定律,得质点运动的微分方程设在时刻质点的位置为由题设,随增大而均匀地减少,又于是方程可以写成例3解其初始条件为于是代入初始条件得在方程式两端积分,得代入上式,将条件得例3解于是代入初始条件得代入上式,将条件得例3解于是代入初始条件得代入上式,将条件得于是所求质点的运动规律型微分方程微分方程的右端不显含未知函数引入参数法求解.设则而原方程化为这是一个关于变量、的一阶微分方程.设其通解为代入参数又得到一个一阶微分方程对它进行积分,便得原方程的通解其中C1,C2都是任意常数。例4解令于是题设方程降阶为两边积分,得求方程的通解.这是一个不显含有未知函数的方程.则即例4解两边积分,得求方程的通解.即例4解两边积分,得求方程的通解.即即或再积分,得原方程的通解例5解代入方程并分离变量后,有两端积分,即求微分方程初值问题的特解.型.题设方程属设得两端再积分,得由条件得所以又由条件得例5解两端积分,即求微分方程初值问题的特解.得两端再积分,得由条件得所以又由条件得例5解两端积分,即求微分方程初值问题的特解.得两端再积分,得由条件得所以又由条件得于是所求的特解为例6解法1代入方程降阶后求解,此法留给读者练习.解法2于是原方程可两边积分,求微分方程满足且当时,有界的特解.所给方程不显含属型,令则因为写为得即这是一阶线性微分方程,解得例6解法2求微分方程满足且当时,有界的特解.例6解法2求微分方程满足且当时,有界的特解.从而所求特解为时,因为有界,得故由此得及又由已知条件得型微分方程微分方程不明显地含自变量引入参数法求解,设则由复合函数的求导法则有这样,原方程就化为这是一个关于变量、的一阶微分方程.设它的通解为分离变量并积分,使得原方程的通解例8解一代入原方程得求方程的通解.设则即由可得所以原方程通解为由,可得原方程的一个解为此解已经含在上面得到的通解中,C1=0,C2=C.解二从而通解为解三原方程变为两边积分,得原方程的通解为例9满足初始条件解代入方程并化简得上式为可分离变量的一阶微分方程,解得再分离变量,求微分方程的特解.令则得由初始条件从而得定出例9满足初始条件解再分离变量,求微分方程的特解.得由初始条件从而得定出例9满足初始条件解再分离变量,求微分方程的特解.得由初始条件从而得定出再两边积分,得或由定出例