【数学】直角三角形与勾股定理（答案）.docx

初三数学一轮复习

专题直角三角形与勾股定理—参考答案与试题解析

一、知识要点

考点1：直角三角形

直角三角形的性质定理：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

考点2：勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）

2.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）解决与勾股定理有关的面积计算；

（4）勾股定理在实际生活中的应用．

考点3：勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：

应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；

（2）验证：与是否具有相等关系：

若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；

若时，△ABC是锐角三角形；

若时，△ABC是钝角三角形．

2.勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

要点诠释：

常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）

考点4：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

精选题型

【题型1：直角三角形】

【典例1】（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（????）

??

A．1 B．2 C．1或 D．1或2

【答案】D

【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解．

【详解】解：∵，

∴，

∵点D为的中点，

∴，

∵，

∴，

①当点E为的中点时，如图，

??

∴，

②当点E为的四等分点时，如图所示：

??

∴，

综上所述：或2；

故选D．

【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键．

1．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，已知．，点P是线段上的动点，连接，在上有一点M，始终保持，连接，则的最小值为（???????）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取的中点为，连接，，先证明，进一步求出和，再根据，求出的最小值．

【详解】解：如图：取的中点为，连接，，

??

，

，

，

，

，

是的中点，

，

，

，

，

，

的最小值为．

故选：B．

【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，正确分析出的取值范围是解题关键．

2．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，在线段上取一点，过作轴于，轴于，连接，当最短时，点C的坐标为（）

??

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设点的坐标为，则，，根据勾股定理表示出的长度，通过配方可以求出当最小时，的值，据此即可求解．

【详解】解：设点的坐标为，

，，

，

，

∴当时，最短，此时点的坐标为，

故选：C．

【点睛】本题考查了一次函数点的特征，勾股定理，二次函数的性质，表示出的长度是解题的关键．

3．（2023·江苏苏州·苏州市工业园区第一中学校考二模）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的交于点，则线段的最小值为．

??

【答案】

【分析】连接，根据是的直径，得到，根据邻补角的定义得到，根据圆周角定理得到点在以为直径的上，推出当点、、共线时，最小，延长，过点作交的延长线于点，求出的长度，进而求出的长度，利用勾股定理求出，即可得到结论．

【详解】解：如图1，连接，

??

∵是的直径，

，

，

点在以点为直径的上，

∵的半径为，

当点、、共线时，最小，延长，过点作交的延长线于点，如图所示；

??

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

故答案为：

【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，勾股定理计算线段的长度，确定点的运动规律，把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题是解决本题的关键．

4．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模）在锐角中已知，则锐角