湖南省天壹名校联盟2023-2024学年高三11月联考数学试题含答案.docx

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2024届高三11月质量检测试题

数学

本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,,则中元素的个数为()

A.1 B.4 C.6 D.7

2.已知是虚数单位,则复数的虚部是()

A. B. C. D.

3.设a,b是空间两条不同直线,则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数的图象大致为()

A. B.

C. D.

5.已知向量,满足,且,则向量在向量上的投影向量为()

A. B. C. D.

6.如图是一坐山峰的示意图,山峰大致呈圆锥形,峰底呈圆形,其半径为,峰底A到峰顶的距离为,B是山坡的中点.为了发展当地旅游业,现要建设一条从A到B的环山观光公路,当公路长度最短时,公路距山顶的最近距离为()

A. B. C. D.

7.已知函数满足,对任意实数x,y都有成立,则()

A. B. C.2 D.1

8.已知,函数与的图象在上最多有两个公共点,则的取值范围为()

A. B.

C. D.

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.若a,,则下列命题正确的是()

A.若且,则 B.若,则

C.若,则 D.若,则

10.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系(为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在14℃的保鲜时间是48小时,则下列说法正确的是()

参考数据:,

A.

B.若该食品储藏温度是21℃,则它的保鲜时间是16小时

C.

D.若该食品保鲜时间超过96小时,则它的储藏温度不高于7℃

11.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:,,则()

A. B.当n为奇数时,

C.数列为等比数列 D.数列的前n项和小于

12.已知正方体的棱长为2,P是正方体表面上一动点,且,记点P形成的轨迹为,则下列结论正确的是()

A.,, B.,,

C.的长度是8 D.的长度是

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知等差数列的前n项和为,若,,则______.

14.写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______.

15.已知关于x的不等式恰有一个整数解,则实数a的取值范围是______.

16.已知函数则方程的解的个数是______.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.(本小题满分10分)

已知函数和在处有相同的导数.

(1)求;

(2)设是的极大值点,是的极小值点,求的值.

18.(本小题满分12分)

如图,在斜四棱柱中,底面正方形的中心是O,且平面.

(1)证明:平面平面;

(2)若该四棱柱的所有棱长均为1,求二面角的余弦值.

19.(本小题满分12分)

为了加快实现我国高水平科技自立自强,某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y(单位:亿元)的散点图,其中年份代码1~10分别对应年份2013~2022.

图1图2

根据散点图,分别用模型①,②作为年研发投入y(单位:亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型,并进行残差分析,得到图2所示的残差图.结合数据,计算得到如下表所示的一些统计量的值:

75

2.25

82.5

4.5

120

28.35

表中,.

(1)根据残差图,判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y(单位:亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由;

(2)(i)根据(1)中所选模型,求出y关于x的经验回归方程;

(ii)设该科技公司的年利润(单位:亿元)和年研发投入y(单位:亿元)满足(且),问该科技公司哪一年的年利润最大?

附:对于一组数据,,…,,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.

20.(本小题满分12分)

在数

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