证明根号2为无理数的方法.pdfVIP

试证明2是无理数.

2bb

证明：易知2是方程x20的一个根，设它有有理根,即2(a0)

aa

先证明一个引理：若整系数方程：axnaxn1...ax2axa0

nn120

q

(ana00)有有理根(pq0且p,q互质)，则有：

p

anp，a0q.

q

证明：把x代入原方程，得：

p

nn12

qqqqn

，两边同乘，得:

anan1...a2aa00p

pppp



nn12n2n1n0

aqaqp...aqpaqpap0.

nn120n

p

那么，由于p0，所以一定有p0，那么一定有：

nn12n2n1n

paqaqp...aqpaqpap.

nn120

由于p,p2,...,pn都满足被p整除，那么有：paqn，又因(p,q)1，所以有：

n

pa.

n

同理，由于q0，所以一定有q0，那么一定有：

nn12n2n1n

qaqaqp...aq