高数上4.4 有理函数积分法.pptVIP

例11求不定积分解令原式化为部分分式例11求不定积分解令原式例11求不定积分解令原式三角函数有理式的积分定义由三角函数和常数经过有限次四则运算成的函数称之.构记为令则三角函数有理式的积分令则三角函数有理式的积分令则万能置换公式例12求不定积分解由万能置换公式原式例12求不定积分解原式例12求不定积分解原式例13求不定积分解一利用万能置换公式原式例13求不定积分解二修改万能置换公式,令原式注：被积函数中的三角函数成偶次方时，采用u=tanx变换能减少计算量。例13求不定积分解三不用万能置换公式原式结论比较以上三种解法,最佳方法,不得已才用万能置换.故三角有理式的计算中先考虑其它手便知万能置换不一定是段,例14求不定积分解原式例14求不定积分解原式例14求不定积分解原式例15求不定积分解一作代换原式例15求不定积分解二原式其中简单无理函数的积分这里主要考虑下列两种类型的积分:解决方法通过适当的变换将其有理化.例16求不定积分解先对分母进行有理化原式例17求不定积分解令则从而第四节有理函数的积分有理函数的定义:两个多项式的商表示的函数称之.其中、都是非负整数;及都是实数,并且假定分子与分母之间没有公因式:(1)这有理函数是真分式;(2)这有理函数是假分式.有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如，我们可将下面的多项式化为一个多项式与真分式之和。2）在实数范围内真分式总可以分解成若干个最简分式（也称部分分式）之和。最简分式是下面两种形式的分式若真分式的分母中有因式则分解后有以下k项与之对应(为正整数)3）真分式化为部分分式之和的一般规律：分解后有若则分解后有k项之和与之对应(都是常数)若分解后有若真分式的分母中含有因式其中确定以上部分分式中的各待定常数的方法称为待定系数法。例1分解有理式解设例2分解有理式解两边同乘以得:令得再将上式两边求导:例2分解有理式解例2分解有理式解令得同理,两边同乘以令得所以例3分解有理式解设代入特殊值来确定系数取并将值代入()取取(*)例4分解有理式解设整理得即例5将分解为部分分式.解设去分母,得令得令得所以令得所以因此将真分式分解为部分分式之和后,只出现了下面四种情况:(1)(2)(3)(4)四种典型部分分式的积分:将分子分解为再分项积分其中令则这四类积分均可全部积出,由此有理函数的不定积分的计算彻底解决,且原函数都是初等函数.结论：有理函数的原函数都是初等函数.其中第二项积分可以通过分部积分和它的递推公式求得。例6求不定积分解根据例3的结果原式例7求不定积分解根据例4的结果原式例8求不定积分解根据例5的结果,有解根据例5的结果,有解根据例5的结果,有解解例9.求解1:说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.例9求不定积分解法2比较同次幂的系数得解得故例9求不定积分解法2比较同次幂的系数得解得故例9求不定积分解法2比较同次幂的系数得解得故例9求不定积分解法3由则有所以例10.求解:原式注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法解:第一步令比较系数定a,b,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!********运行时,点击“本题按常规方法解很繁”,或按钮“常规”,将显示常规方法接替步骤,并自动返回.**