高数上5.6 广义积分审敛法.pptVIP

如何确定推论4极限中的q值呢？通常f(x)的这些无穷大量一般都具有由推论4可以看出若当l是正实数时,确定q的过程,本质上就是求f(x)的形式，而式中的q就是我们所要确定的q值.==经验准则==当l为零时,本质上就是找f(x)的高阶无穷大，当l为无穷大时,本质上就是找f(x)的低阶无穷大，的同阶无穷大的过程,例1解(等价无穷大)故根据推论4知,题设广义积分发散.判别广义积分的收敛性.被积函数在点的右邻域内无界.由于更一般的推论常取作为判别的比较函数.例2解因为根据比较审敛法知,广义积分从而题设广义积分也收敛.判别广义积分的收敛性.而收敛,收敛,若取由推论4知原积分收敛.例3解且所以,题设广义积分收敛;题设广义积分发散.判别广义积分的收敛性.由于是的瑕点,当即时,当即时,1、狄利克雷判别法2、阿贝尔判别法对瑕积分也有相应的狄利克雷和阿贝尔判别法积分也可以转化为无穷限积分,并且两者具有相两种类型的广义积分实际上可以经过适当的变量代换,无穷限积分可以转化为瑕积分,而瑕同的敛散性。无穷限的反常积分与瑕积分之间的关系函数定义讨论:内无界.设(1)根据瑕积分的比较审敛法,时,当被积函数在点的右邻域时,当是常义积分;时,当而收敛.(2)函数(2)函数(2)根据无穷限积分的极限审敛法,也收敛.由(1),(2)知均收敛.对函数的几个重要性质1.递推公式证特别地,有当是正整数时,函数的几个重要性质函数的几个重要性质故所以,我们可以把函数看成是阶乘的推广.2.当时,证因为所以当时,3.余元公式函数的几个重要性质3.余元公式函数的几个重要性质3.余元公式证明略.4.在中,得作代换在上式中,令得从而得到在概率论中常用的一个积分公式例1计算下列各式的值:解由公式得:由公式得:例2计算下列广义积分:解于是已知计算令则例2计算下列广义积分:解例2计算下列广义积分:解于是令则内容小结无穷区间的广义积分的计算利用牛顿-莱布尼兹公式、变量代换分布积分法是计算广义积分的三大基本方法.换句话说一类不通过被积函数的原函数定理有界函数必有极限的准则,可知极限从而可证上述定理.性的判定方法.判定广义积分收敛设函数在区间上连续,且若函数上有界,在收敛.则广义积分注意到函数是单调增加有界的,利用单调存在,上连续,(2)如果比较审敛原理设函数在区间(1)如果且收敛,也收敛;则且发散,也发散.则由上面的定理,立即可得如下的比较判别法.判别法的顺口溜:“大的收敛,则小的必收敛”“若小的发散,则大的定发散”证收敛,得设由及上有上界,即在从而收敛.(2)如果且发散,必定发散.则若收敛,也收敛,则这与假设矛盾.证毕.则得到推论1使得若在上述判别法中取函数上连续,设函数在区间且如果存在常数及则收敛;如果存在常数使得则发散.有时将推论1写成下面的极限形式,判断更为方便.推论2若(1)设函数在区间上连续,且若则与(2)发散.时,当具有相同的敛散性；若则收敛；时,当若则(3)注意:推论(2,3)不一定要求满足条件.证明:由(1)当时,有(2)发散.时,当当时,有收敛；时,当当时,有(3)当x充分大时,取由推论1,即证；取取如何确定推论2极限中的p值呢？通常f(x)的这些无穷小量一般都具有由推论2的证明可以看出当l是正实数时,确定p的过程,本质上就是求f(x)的形式，式中的p就是我们所要确定的p值.==经验准则==当l为零时,本质上就是找f(x)的低阶无穷小；当l为无穷大时,本质上就是找f(x)的高阶无穷小，的同阶无穷小的过程；若例1解因为故由推论1知,广义积分收敛.判别广义积分的敛散性.这里另解：由推论2，广义积分收敛.例2解因为故由推论2知,广义积分收敛.判别广义积分的敛散性.这里另解：由推论2，广义积分收敛.例3解因为故根据推论2知,题设广义积分发散.判别广义积分的敛散性.另解：由推论2，广义积分发散.例4解故由推论1知,题设广义积