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专题:平面向量与三角形四心问题

三角形四心指的是三角形的垂心、重心、内心和外心，在高考中常常结合平面向量的知识进行考察，是高中数学的一个难点.很多学生对三角形四心总是产生混淆，面对与四心有关的问题也常常束手无策，为了解决广大学子的困扰，本文以四心的常见结论出发，借助几道经典的例题，对三角形四心问题进行系统梳理，希望能够为读者提供帮助.

如果读者是在校高中生，则标注了星号的内容可作为拓展知识.

三角形的内心

（1）定义：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点（如图1）.

（2）向量表示：若为△的内心.

（注：本文中的边，，分别表示，，.角，，分别表示，，.）

证明：

（图1）

点在角的角平分线上，同理点也在角、的角平分线上.

为△的内心.

（3）常用性质

性质1：所在的直线与的角平分线重合（经过内心）.

证明：如图所示，表示上的单位向量，不妨记作，表示上的单位向量，不妨记作.设，由平行四边形法则知，四边形为菱形，

故直线为的角平分线.

所在的直线与的角平分线重合（经过内心）.

性质2：（△内切圆的半径）.

证明：由等面积法易证.

性质3：为△的内心.

证明：由面积公式易证.

（4）典例剖析

例1-1：在△中，为平面内一个定点，动点满足,

.则动点的轨迹经过△的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

解析：由性质1知，答案为A.

例1-2：已知是△所在平面上的一点，若（其中是△所在平面内任意一点），则是△的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

解析：由题意知，即

，化简得.根据内心的向量表示知，是△的内心，答案为A.

例1-3：已知是△内的一点，且满足，则所在的直线一定经过三角形的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

解析：表示上的单位向量，不妨记作，表示上的单位向量，不妨记作.故，即,即.

直线与的角平分线重合，故所在的直线一定经过三角形的内心，答案A.

二、三角形的外心

（1）定义：三角形外接圆的圆心，即三角形三边中垂线的交点（如图2）.

（2）向量表示：若为△的外心.

（3）常用性质：

奔驰定理*：已知为△内的一点（不一定为外心），

则.（该定理反之也成立）

证明：不妨延长到（如下图），则（图2）

，

即.且根据，,三点共线知，，

故，即.

（反之易证）

性质1*：为△的外心.

证明：如图2所示，为△的外心，

，

（为△外接圆半径）.

性质2*：为△的外心.

证明：结合性质1与奔驰定理易证.

（4）典例剖析

例2-1：在△中，为平面内一个定点，动点满足

，.则动点的轨迹一定经过△的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

解析：设线段的中点为，故，

即,而，

即

即，故点在线段的垂直平分线上.

动点的轨迹一定经过△的外心，答案B.

例2-2：在△中，动点满足，则点一定经过△的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

解析：由题知，设为的中点，则

,故,即，

在的垂直平分线上，故点一定经过△的外心，答案B.

例2-3：已知为△所在平面内的一点，满足，

，则为△的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

解析：由知,即，即

,同理可得：，

为△的外心，答案B.

三、三角形的垂心

（1）定义：三角形三条高的交点（如图3）.

（2）向量表示：若为△的垂心.

证明：.同理

,为△的垂心.

（3）常用性质

性质1*：为锐角△的垂心

.（图3）

证明：,且在直角△和直角△中有

，.故.

同理，.

，反之易证.

性质2*：当为锐角△的垂心.

证明：利用性质1和“奔驰定理”易证.

（4）典例剖析

例3-1：在△中，为平面内一个定点，