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专题12解三角形解答题分类练
一、利用正弦定理与余弦定理求角
1.(2024届广西玉林市高三上学期联考)在锐角中,角、、所对的边分别为、、,.
(1)求的大小;
(2)若,,为的中点,求.
【解析】(1)解:由于,由正弦定理可得,
所以,,
由于,所以,所以,
由于,所以.
(2)解:在中,由于,
所以,所以,解得或
当时,,则为钝角,不符合题意,
当时,,则为锐角,合乎题意,故,
由于为的中点,则,
所以,
,故.
2.(2024届河北省保定市唐县第一中学高三上学期9月月考)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,.
(1)求角B;
(2)求边上中线长的最大值.
【解析】(1)由,可得:,
即,
所以,而,所以;
(2)依据余弦定理可得,,即,
,即,当且仅当时,等号成立.
是边上中线,,
,
,当且仅当时等号成立,即的最大值为.
3.(2024届广东省揭阳市普宁市其次中学高三上学期月考)在中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足.
(1)求角B;
(2)若,的内切圆半径,求的面积.
【解析】(1)由于,
由余弦定理得,
即,
所以.
又,
所以
(2)由余弦定理得:,则,
由三角形面积公式,,即,
则,
所以,解得,
所以.
二、利用正弦定理与余弦定理求边
4.(2023届新疆伊犁州霍尔果斯市高三上学期第一次月考)已知、、分别为三个内角、、的对边,.
(1)求;
(2)若,的面积为,求、.
【解析】(1)依据正弦定理,
变为,即,
也即,
所以.
整理,得,即,所以,
所以,则.
(2)由,,得.
由余弦定理,得,
则,所以.则.
5.(2024届山东省金科大联考高三上学期9月质量检测)在中,内角,,所对的边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若的面积为,,求的值.
【解析】(1)由于,
所以,
即,
所以,又,
所以.
(2)由正弦定理知,,
所以,
所以,
解得,
所以.
6.(2024届河南省洛阳市等三地部分名校高三上学期联考)已知的周长为,且.
(1)求的长:
(2)若的面积为.求.
【解析】(1)解:设内角,,所对的边分别为,,.
由于,所以.
由于,所以;
(2)由于的面积为,且,
所以.
由(1)可得.
则.
由余弦定理可得.
由于,所以.
三、利用正弦定理与余弦定理求三角形面积
7.(2024届江西省南昌市高三上学期摸底测试)在中,角,,所对的边分别为,,,,.
(1)求的面积;
(2)若,求的周长.
【解析】(1)由已知,在中有,故,
即,
即,而,所以,
又,故的面积为.
(2)由余弦定理,得,可得,
所以,
所以,即,
所以的周长为3.
8.(2023届安徽省合肥市庐阳区高三上学期12月月考)在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求B;
(2)若成等差数列,,求的面积.
【解析】(1)由正弦定理得,即,
再由余弦定理可得,
由于,所以;
(2)由于成等差数列,所以,
即,
由正弦定理、余弦定理可得
,
整理得①,
又,,由余弦定理得②,
由①②可得,
所以的面积为.
9.(2024届山东省泰安市肥城市高三上学期9月月考)的内角的对边分别为,已知.
(1)求的值;
(2)若是上一点,,求的面积.
【解析】(1)在中,由余弦定理得
,所以.
由正弦定理,得.
(2)由于,所以,C为锐角,
由,得.
在中,,得,
由于,所以.
四、利用正弦定理与余弦定理求范围与最值问题
10.(2024届湖南省益阳市高三上学期9月月考)已知的内角,,的对边分别为,,,,且.
(1)求;
(2)求面积的最大值.
【解析】(1)由于,留意到且结合正弦定理
有,整理得,
所以由余弦定理可得.
(2)由(1)可知,且留意到,所以有,
利用基本不等式得,即有最大值16,当且仅当时取到;
又由(1)可知,所以,
综上所述:;即面积的最大值为.
11.(2024THUSSAT中同学标准学术力量诊断性测试高三上学期9月测试届)记的内角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若是上的一点,且,求的最小值.
【解析】(1),
又,则或,
若,则;
若,则,又,不符合题意,舍去,
综上所述.
(2)
①,又②,
①÷②得:
令,又,
,
令
令,
令,
当时,当时,
由对勾函数性质可得当时,为减函数,故,
同理当时,
所以当三角形为等边三角形时最小,最小值为
12.(2024届河南省洛阳市洛宁县高三上学期其次次月考)在中,内角所对的边分别是且.
(1)求角A;
(2)若,求周长的范围.
【解析】(1)∵,由正弦定理得,
由余弦定理得.∵,
∴;
(2)由(1)知,又已知,由正弦定理得:
∵,
∴,,???????????
,
由,于是,
故,于是,
∴周长的范围是.
13.(2024届河北省保
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