专题19 立体几何客观题中的角度与截面问题（解析版）.docxVIP

专题19立体几何中的角度与截面问题

一、单选题

1．（2024届】四川省仁寿高三上学期模拟）如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在直三棱柱中，平面，平面，

所以，，

平面，平面，所以，

所以相互垂直，

以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

设，

则，

可得，，

所以.

所以直线与直线夹角的余弦值为.故选C.

??

2．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）在四周体ABCD中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】??

如图，取AB中点M，连接CM，DM

由于为等边三角形，为等腰直角三角形

所以，

故即为二面角的平面角.

由于，所以，

所以

所以即二面角的大小为.故选D.

3．（2023届山西省百师联盟高三下学期联考）在棱长为2的正方体中，E为CD1上的动点，则AE与平面所成角的正切值不行能为（????）

??

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，

??

在上取点，使得，连接，

由，可知四边形为平行四边形，则，

由于平面，，所以平面，

所以与平面所成角为，，而．

所以．明显，故D不行能．故选D

4．（2024届湖南省衡阳市高三上学期阶段性测试）如图所示，圆锥底面半径为2，为底面圆心，，为底面圆上的点，且，，则直线与所成角的余弦值为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】连接，取，，的中点分别为，，，连接，

??

则，，平面，

所以（或其补角）为直线与所成的角，

又平面，平面，所以，，

由于，，，

所以，，，，

所以，，，

则由余弦定理得：，

所以直线与所成角的余弦值为，故选A.

5．（2023届河南省五市高三下学期其次次联考）已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球，圆锥是三棱柱的外接圆锥，且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上，则该外接圆锥的轴截面面积的最小值是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】正三棱柱内切球半径即为内切圆半径，

??

由等面积法可知，，所以，所以，

设分别为和外接圆的圆心，则，

由正弦定理可得，所以，

设，则，所以，解得，

所以，圆锥轴截面面积，

当且仅当，即时等号成立，即轴截面面积的最小值是.故选C

6．（2023届江西省景德镇市高三第三次质量检测）某地举办数学建模大赛，本次大赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的表面积为，托盘由边长为8的等边三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠形成，即面，面，面都与面垂直，如图②，则经过三个顶点A，B，C的球的截面圆的面积为（????）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设三点在底面上的射影分别为，

由于面，面，面都与面垂直，

所以是三边中点，

所以与全等，且所在平面相互平行，

所以经过三个顶点的球的截面圆与的外接圆相同，

由题意，，

所以的外接圆的半径为，

则经过三个顶点的球的截面圆的面积为.故选B.

??

7．（2024届广东省阳江市高三上学期调研）三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

取中点，连接，

，

≌，，，

，是边长为的正三角形，

，

面，面，

作于，面，

面，面，

在中，由余弦定理得

，，

，，，

，

，

设点到平面的距离为，

由得，

即，解得，

所以直线与平面所成角的正弦值为.故选A.

8．（2023届陕西省西安市高三高考综合测试）在三棱锥中，侧面PAC是等边三角形，底面ABC是等腰直角三角形，，，点M，N，E分别是棱PA，PC，AB的中点，过M，N，E三点的平面截三棱锥所得截面为，给出下列结论：

①截面的外形为正方形；

②截面的面积等于；

③异面直线PA与BC所成角的余弦值为；

④三棱锥外接球的表面积等于．

其中全部正确结论的序号是（????）

A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④

【答案】C

【解析】取的中点为，连接，

由于点分别是棱的中点，所以，，可得；

又，，即；

所以四点共面，且四边形为平行四边形，

取的中点为，连接，如下图所示：

??

易知，又是等腰直角三角形，且，所以，可得；

又，平面，所以平面；

易知平面，可得；

又，，所以，

且，所以四边形为正方形，

即截面的外形为正方形，所以①正确；

由正方形面积公式可知，四边形的面积为，即②错误；

设，可得，

所以，

易知，，

在中，，所以，可得；

所以，

所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为，即③正确；

易知，，所以可得；

又，且，平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面；

所以可得外接球球心在上，设，半径为，

则，解得，；

所以三棱锥外接球的表面