圆锥曲线齐次式与点乘双根法.docxVIP

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值

例１：为椭圆上两个动点，且，过原点作直线得垂线,求得轨迹方程、

解法一（常规方法）:设,,设直线方程为,联立化简可得：

,所以

因为所以

又因为直线方程等价于为，即对比于，则代入中,化简可得：、

解法二(齐次式):

设直线方程为,联立

化简可得：

整理成关于得齐次式：，进而两边同时除以，则

因为所以,

又因为直线方程等价于为,即对比于,则代入中，化简可得：、

例2：已知椭圆，设直线不经过点得直线交于两点，若直线得斜率之和为，证明：直线恒过定点、

解:以点为坐标原点，建立新得直角坐标系,如图所示：

旧坐标新坐标

即

所以

原来则转换到新坐标就成为:

设直线方程为：

原方程:则转换到新坐标就成为：

展开得:

构造齐次式:

整理为:

两边同时除以，则

所以所以

而对于任意都成立、

则:，故对应原坐标为所以恒过定点、

例3:已知椭圆,过其上一定点作倾斜角互补得两条直线，分别交于椭圆于两点,证明:直线斜率为定值、

解：以点为坐标原点，建立新得直角坐标系，如图所示：

旧坐标新坐标

即

所以

原来则转换到新坐标就成为:

设直线方程为:

原方程:则转换到新坐标就成为:

展开得：

构造齐次式:

整理为：

两边同时除以,则

所以所以

而、所以

平移变换，斜率不变，所以直线斜率为定值、

点乘双根法

例4：设椭圆中心在原点,长轴在轴上,上顶点为,左右顶点分别为，线段中点分别为，且是面积为得直角三角形、

(１）求其椭圆得方程

(2）过作直线交椭圆于两点，使，求直线得方程、

解:（１)

（2）易知：直线不与轴垂直，则设直线方程为:，

因为,则，

所以

现联立

则方程可以等价转化

即

令，

令，

结合化简可得：

所以直线方程为:、