理论力学 第11章 达朗伯原理（动静法）.ppt

SS二、刚体绕定轴转动设刚体具有质量对称面S，且S与转轴z垂直并交于O点，C为刚体的质心。选取与z轴平行的细长圆柱体为单元体，刚体转动时，每根单元体均作圆周平移。设第I根单元体的质心Ci在对称面上，至转轴的距离为ri。根据平动刚体惯性力系的简化，该单元体的惯性力通过Ci点riCFIi=FIi?+FIinFIi?=m?riFIin=m?2ri对于其它单元体(i=1,2,…,n)，其惯性力也在对称面S内。所以，该刚体的惯性力系首先可以简化为在质量对称面S内的平面惯性力系。zOCi刚体具有与转轴垂直的质量对称面aω式中且riririCiCiCC刚体绕定轴转动惯性力系的简化(转轴垂直于质量对称面)(续)FI=∑FIi==－∑Mai由于∑Mai=maC所以惯性力系的主矢可写作FI=－maC惯性力系的主矩MIO=∑MO(FIi)MIO=－JOαriaC?OxyFIiFI?FInCMIO?aCn惯性力系的主矢为=－maC?－maCn=∑MO(FIi?)=∑(－FIi?ri)=－?∑MIri2JO现将上述平面惯性力系向已知点O简化，CCαaC?aCnaC?aCnFI?FInFI?FInFI?FInMIOMIO∑(－Mai)Ci刚体绕定轴转动惯性力系简化的结论（转轴垂直于质量对称面）当刚体有对称平面且绕垂直于对称面的定轴转动时,其惯性力系向转轴与此对称面的交点O简化，得到对称面内的一个惯性力系主矢和一个惯性力系主矩:主矢大小=刚体的质量与质心加速度的乘积方向与质心的加速度方向相反主矩大小=刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积转向与角加速度的转向相反FI=－maCMIO=－JOαaC?OxyCMIO?αaCn=－maC?－maCnaCFIMIOFIMIOFIMIOFI均质杆OA质量为m，长为l，可绕O轴转动。图示瞬时，角速度为零，角加速度为α，求该瞬时杆的惯性力系向O轴简化的结果，并画出惯性主矢和惯性主矩的方向。例3解：OA杆作定轴转动,角速度为零，角加速度为α，MIO该杆的惯性力系向O轴简化的结果为MIOMIO例4图示均质杆AB的长度为l，质量为m，可绕O轴在铅直面内转动，OA=l/3，用细线静止悬挂在图示水平位置。若将细线剪断，AB杆运动到与水平线成θ角时转轴O处的反力。θOAB已知AB杆长l，质量m，OA=l/3，求剪断绳后运动至θ角时转轴O处的反力。OABθC解：εωaC?aCnFI?FInXOYOMIO杆对转轴的转动惯量为剪断绳后,AB杆作定轴转动，设杆转至θ角时，其角速度、角加速度为ω、α，则质心的加速度为:杆受力如图，虚加上杆的惯性力系，且CGεωaC?aCnFI?FInXOYOMIOCεωaC?aCnFI?FInXOYOMIOCαωaC?aCnFI?FInXOYOMIOl/6l/6l/6l/6OABθCGαωaC?aCnFI?FInXOYOMIO式③代入式⑥得根据达朗伯原理，列出“平衡方程”:∑FX=0，∑FY=0，∑MO(F)=0，……①……②……③……④……⑤……⑥分离变量、积分得最后解得XO+FI?sinθ+FIncosθ=0，YO－MI+FI?cosθ－FInsinθ=0，（←）（↑）在运动的任意瞬时，虚加于刚体各质点上的惯性力系首先可简化为对称面内的平面惯性力系；然后以质心为简化中心，导出惯性力系的主矢和主矩。刚体的平面运动可分解为随基点的平移和相对基点的转动。在动力学中，总是选取质心为基点。所以刚体的平面运动可分解为随质心的平移和相对质心的转动。简化到对称面的惯性力系分为两部分：刚体随质心平动的惯性力系简化为通过质心的一个力；刚体绕质心转动的惯性力系简化为一个力偶。三、刚体作平面运动时惯性力系的简化aCMICFIC?FI=－maCMIC=－JC?MICFIMICFIMICFIaCaC刚体作平面运动时惯性力系的简化的结论有对称平面的刚体，平行于该平面运动时，刚体的惯性力系可以简化为在对称平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，大小等于刚体质量与质心加速度的乘积，其方向与质心的加速度方向相反；这个力偶的矩等于对通过质心且垂直于对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘