高数下7.5二阶常系数线性微分方程.pptVIP

例2求方程的一个特解.解题设方程右端的自由项为其中对应的齐次方程的特征方程为特征根为所以应设特解为把它代入题设方程,型,由于不是特征方程的根,得比较系数得解得于是,所求特解为例3求方程的通解.解题设方程对应的齐次方程的特征方程为特征根为于是,因故可设题设方程是特征方程的单根,的特解：代入题设方程,比较等式两端同次幂的系数,该齐次方程的通解为得得于是,求得题设方程的一个特解例3求方程的通解.解因故可设题设方程是特征方程的单根,的特解：代入题设方程,比较等式两端同次幂的系数,得得于是,求得题设方程的一个特解例3求方程的通解.解因故可设题设方程是特征方程的单根,的特解：代入题设方程,比较等式两端同次幂的系数,得得于是,求得题设方程的一个特解从而,所求题设方程的通解为例4求微分方程通解.解特征方程为特征根为故对应齐次方程的通解为观察可得,的一个特解为的一个特解为为由非齐次线性微分方程的叠加原理知是原方程的一个特解,从而原方程的通解为例5求方程的特解.解解得特征根为其对应齐次方程的特征方程为由第六节定理5知,题设方因特征方程有重根程的特解是下列两个方程的特解的和:(1)(2)的特解所以设方程(1)整理后得并消去将其代入方程(1)即例5求方程的特解.解于是得特解求导后代入方程,得特解所以题设方程的特解为：又因特征方程有重根解出所以设方程的特解为(2)例6求方程的通解.解对应的齐次方程的特征方程为特征根所求齐次方程的通解因此方程的特解形式可设为代入题设方程易解得故所求方程的通解为由于不是特征方程的根,(1)由欧拉公式知道,或型和分别是的(2)实部和虚部.因此先考虑方程(3)这个方程的特解求法在上一段中已经讨论过.假定已经求出方程(3)的一个特解,则根据第六节的定2、或型假定已经求出方程(3)的一个特解,则根据第六节的定或型假定已经求出方程(3)的一个特解,则根据第六节的定方程(3)的特解的实部就是方程(1)的特解,而理6知道,方程(3)的特解的虚部就是方程(2)的特解.方程(3)的指数函数中的是复数,特征方程是实系数的二次方程,故只有两种可或不是特征根,或者是特征方程的单根.能的情形:即(3)具有特解形式:(4)的特解,其中是与同次(次)的多项或型的特解,其中是与同次(次)的多项或型的特解,其中是与同次(次)的多项注:而按不是特征方程的根或是特征方程的上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方式,单根依次取0或1.程情形.例7求方程的通解.解对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解作辅助方程是单根,代入上式得取虚部得所求非齐次方程特解为故设从而题设方程的通解为例8求方程的通解.解对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解作辅助方程不是特征方程的根,代入辅助方程得故设例8求方程的通解.解对应齐次方程的特征方程的特征根为故对应齐次方程的通解取实部得到所求非齐次方程的一个特解:所求非齐次方程的通解为例9设函数满足求解将方程两端对求导,得微分方程即特征方程为特征根为注意到方程的右端对应齐次方程的通解为例9设函数满足求解注意到方程的右端例9设函数满足求解注意到方程的右端且根据非齐次方程解的不是特征根,叠加原理,可设特解代入方程定出为从而原方程的通解又在原方程的两端令得由一、二阶常系数齐次线性方程解法第六、七节二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数非齐次线性方程解法一、二阶常系数齐次线性方程的解法是常数)((1)为求方程(1)的通解,由解的结构知道,需先求出莫属！。它的两个线性无关的特解如何求得它的两个线性无关解呢？仔细推敲齐次方程(1)的结构,就会意识到：欲使y(x)是方程(1)的解,则y(x)与其一、二阶导数之间应具有常数倍关系。那么，什么函数具有这种特性？非指数函数一、二阶常系数齐次线性方程的解法是常数)((1)现在我们来尝试：令特解形式:为待定常数),(因为故有(2)易见,如果方程(2)的根,则就是方程(1)的特解得