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微分方程

第七章

习题课

一、一阶微分方程求解

二、解微分方程应用问题

三、高阶微分方程求解

2

待定系数法

基本概念

一阶方程

类型

1.直接积分法

2.可分离变量

3.齐次方程

4.可化为齐次

方程

5.线性方程

6.伯努利方程

可降阶方程

线性方程

解的结构

定理1;定理2

定理3;定理4

二阶常系数线性

方程解的结构

特征方程的根

及其对应项

f(x)的形式及其

特解形式

高阶方程

特征方程法

主要内容

作变换

微分方程解题思路

一阶方程

高阶方程

分离变量法

常数变易法

特征方程法

待定系数法

非变量

可分离

降阶

作变换

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一、一阶微分方程求解

【例1】求下列方程的通解

［提示］(1)

故为分离变量方程:

通解

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方程两边同除以x即为齐次方程,

令y=ux,化为分

离变量方程.

调换自变量与因变量的地位,

用线性方程通解公式求解.

化为

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【例2】求下列方程的通解:

［提示］(1)

令u=xy,得

(2)将方程改写为

(伯努利方程)

(分离变量方程)

原方程化为

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令y=ut

(齐次方程)

令t=x–1,则

可分离变量方程求解

化方程为

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【例3】

设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)

内满足以下条件:

(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;

(03考研)

(2)求出F(x)的表达式.

【解】(1)

所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:

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(2)由一阶线性微分方程解的公式得

于是

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【例4】

【解】

识别下列一阶微分方程的类型，并求解

①可分离变量的微分方程

②齐次方程

③一阶线性齐次方程

通解为

所求通解为

【解】

11

①

②

所求通解为

①齐次方程②

【解】

【解】

12

P353题3求下列微分方程的通解:

［提示］令u=xy,化成可分离变量方程:

［提示］这是一阶线性方程,其中

或伯努利方程

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［提示］可化为关于x的一阶线性方程

［提示］为伯努利方程,令

［提示］可化为伯努利方程

令

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原方程化为

,即

则

故原方程通解

［提示］令

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P327题5.已知某曲线经过点(1,1),

轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.

［提示］设曲线上的动点为M(x,y),

令X=0,得截距

由题意知微分方程为

即

定解条件为

此点处切线方程为

它的切线在纵

二、解微分方程应用问题

利用共性建立微分方程;

利用个性确定初始条件.

关键问题是正确建立数学模型,

要点:

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三、高阶微分方程求解

【例5】

【解】

识别下列二阶微分方程的类型，并求解

【解】

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原方程的通解形式为

【解】

原方程的通解形式为

【解】

18

1)求以

为通解的微分方程.

【例6】满足下列条件的微分方程

P353题2

［提示］

消去C得

【解】

19

作业【解】

【解】

20

21

【例7】作业

【解】

特征方程

特征根

对应的齐方的通解为

设原方程的特解为

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由

解得

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故原方程的通解为

由

即