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成考（高起本）数学（文）二次函数的概念

目?录CONTENTS二次函数的定义与基本性质二次函数的图像与性质分析二次函数的求解与应用030102

二次函数的定义与基本性质01

二次函数的表达式二次函数的一般形式为?(?ax^2?+?bx?+?c?)（(?a?\neq?0?)）

其中?(?a,?b,?c?)?是常数，(?x?)?是变量

该表达式是?(?x?)?的二次多项式二次函数的图像二次函数的图像是抛物线

抛物线可以开口向上或向下，取决于?(?a?)?的正负

当?(?a??0?)?时，抛物线开口向上；当?(?a??0?)?时，开口向下二次函数的分类根据判别式?(?\Delta?=?b^2?-?4ac?)?的值，二次函数可以分为三种情况

当?(?\Delta??0?)?时，函数有两个不同的实数根

当?(?\Delta?=?0?)?时，函数有一个重根

当?(?\Delta??0?)?时，函数没有实数根二次函数的几何意义二次函数的图像是平面内所有满足该函数方程点的集合

抛物线的顶点表示函数的最大值或最小值

抛物线的对称轴是?(?x?)?的值，使得?(?y?)?取得极值二次函数的定义

二次函数的图像关于其对称轴对称

对称轴的方程为?(?x?=?-?\frac{b}{2a}?)

对称轴将抛物线分为两部分，每部分关于对称轴对称对称性01二次函数在其对称轴处取得极值

当?(?a??0?)?时，极值是最小值

当?(?a??0?)?时，极值是最大值极值03在对称轴的左侧，函数单调递减

在对称轴的右侧，函数单调递增

函数的增减性取决于?(?a?)?的正负单调性02二次函数的零点是函数图像与?(?x?)?轴的交点

零点的个数由判别式?(?\Delta?)?决定

零点坐标可通过解方程?(?ax^2?+?bx?+?c?=?0?)?得到零点04二次函数的基本性质

二次函数的顶点式顶点式为?(?y?=?a(x-?h)^2?+?k?)，其中?(?(h,?k)?)?是顶点的坐标

该形式直接展示了抛物线的顶点和开口方向

通过配方可以将一般式转换为顶点式二次函数的一般式一般式为?(?y?=?ax^2?+?bx?+?c?)

适用于描述二次函数的通用表达式

可以通过求导数来分析函数的增减性二次函数的交点式交点式为?(?y?=?a(x-?x_1)(x-?x_2)?)，其中?(?x_1?)?和?(?x_2?)?是函数的零点

该形式显示了函数与?(?x?)?轴的交点

当?(?x_1?\neq?x_2?)?时，函数有两个零点二次函数的图像变换图像变换包括平移、缩放和翻转

平移变换会影响函数的?(?h?)?和?(?k?)?值

缩放变换会影响?(?a?)?的值，改变抛物线的开口大小二次函数的标准形式

二次函数的图像与性质分析02

当系数a??0时，抛物线开口向上

当系数a??0时，抛物线开口向下

当系数a?=?0时，函数不再是二次函数开口方向与系数a的关系对称轴的方程是x?=?-?b/2a

对称轴总是垂直于x轴

对称轴通过抛物线的顶点对称轴的确定顶点的横坐标由公式-?x/2a给出

顶点的纵坐标由代入横坐标得到的函数值给出

顶点坐标完全由二次函数的系数确定顶点坐标与系数的关系当a??0时，二次函数有最小值

当a??0时，二次函数有最大值

最值出现在抛物线的顶点处最值问题图像与性质的关系

二次函数图像的对称性抛物线关于其顶点对称

对称轴是抛物线的唯一对称轴

对称轴两侧的图像是镜像二次函数图像的凹凸性当a??0时，抛物线是凹的

当a??0时，抛物线是凸的

凹凸性决定了函数的增减趋势二次函数图像的交点抛物线与x轴的交点是函数的根

交点数量由判别式Δ=b2-?4ac的值决定

交点可以是实数或复数二次函数图像的特殊情况当Δ=0时，抛物线与x轴相切

当Δ0时，抛物线与x轴无交点

当Δ0时，抛物线与x轴有两个交点图像的几何特征

解二次不等式通过图像分析二次不等式的解集

解集可以是区间或孤立点

需要考虑抛物线的开口方向求函数的值域值域取决于开口方向和顶点的纵坐标

凹函数的值域是大于等于顶点纵坐标的所有实数

凸函数的值域是小于等于顶点纵坐标的所有实数二次函数在实际问题中的应用用于解决最优化问题

用于物理学中的抛物线运动

用于经济学中的成本和收益分析二次函数的图像分析技巧确定开口方向和对称轴

分析顶点和交点

利用图像解不等式和求值域图像的应用

二次函数的求解与应用03式法使用?(?ax^2?+?bx?+?c?=?0?)?的解公式?(?x?=?\frac{-?b?\pm?\sqrt{b^2?-?4ac}}{2a}?)

适用于所有一元二次方程

可求出方程的两个根（实数或复数）因式分解法将方程分解为?(?(x?-?r_1)(x?-?r_2)?=?0?)?的形式

直接得到方程的根?(?r_1