2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题7平面向量（考点练+模拟练）含详解.docx

专题07平面向量（考点练+模拟练）

一、填空题

1．（2024·上海金山·二模）已知向量，，若，则实数的值为．

2．（2024·上海奉贤·二模）已知向量，，则在方向上的投影向量为．

3．（23-24高三上·上海杨浦高级中学·开学考试）已知向量为单位向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是．

4．（23-24高三上·上海·期中）已知，是两两垂直的单位向量，则．

5．（2024·上海·三模）已知点，将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则

6．（2024·上海·一模）已知平面向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为．

7．（23-24高三上·上海嘉定·期中）若平面向量，，则与夹角的正切值是.

8．（2024·上海·三模）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则．

9．（22-23高三下·上海闵行·阶段练习）已知点是的中线上一点（不含端点），且，则满足的等式是.

10．（2023·上海杨浦·三模）已知在上的数量投影为，其中点O为原点，则点B所在直线方程为

11．（21-22高三上·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，D是BC的中点，，则=．

12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知是边长为2的正六边形上或其内部的一点，则的取值范围为

13．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形中，为中点，与交于点，若将，作为平面向量的一个基，则向量可表示为（用表示）.

??

14．（2024·上海·模拟预测）已知向量，，满足，，且，则．

15．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）如图，在矩形中，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为.

16．（23-24高三上·上海虹口·期中）平面上的三个单位向量，，满足，则，，两两间的夹角中最小的角的大小为．

17．（2024高三·上海·专题练习）已知平面内三点不共线，且点满足，则是的心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）

18．（2023·上海长宁·二模）已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为.

19．（2024·上海崇明·二模）已知A、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且，则的最小值是．

20．（2024·上海虹口·二模）已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为.

21．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是.

??

22．（23-24高三上·上海虹口·期末）设，，，，，是平面上两两不相等的向量，若，且对任意的i，，均有，则．

23．（23-24高一下·上海·期中）若均为单位向量，下列结论中正确的是（填写你认为所有正确结论的序号）

（1）若且，且，则的取值范围为；

（2）若且，且，则的取值范围为；

（3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为；

（4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为.

24．（2024高三·上海·专题练习）已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为.

25．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知点P为所在平面内一点，，，定义点集，若存在点，使得对任意，有恒成立，那么当的面积取得最大值12时，．

二、单选题

26．（2020高三·上海·专题练习）设，，是平面内任意三点，则

A． B．

C． D．

27．（23-24高三下·上海·开学考试）已知，是两个不共线的单位向量，，则“且”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

28．（2022·上海浦东新·模拟预测）如图，已知点，正方形内接于⊙，、分别为边、的中点，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

29．（2022·上海闵行·二模）已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（????）

A．命题（1）和（2）均为真命题

B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题

C．命题（1）和（2）均为假命题

D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题

三、解答题

30．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知，且与的夹角为

(1)求与的夹角；

(2)若向量