2025年上海市数学高考一轮复习精讲精练 重难点06空间角与探索性问题（2种考法）含详解.docx

重难点06空间角与探索性问题（2种考法）

考法1：空间角问题

考法2：探索性问题

1.求异面直线所成的角的三步曲

2.求直线和平面所成角的关键

作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法

（1）由定义做出二面角的平面角

（2）用三垂线定理找二面角的平面角

（3）找公垂面

（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角

4.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；

(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；

(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．

5.利用向量法求两平面夹角的步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；

(3)求两个法向量的夹角；

(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)

6.探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目。一般可采用两种方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。

〖关键技巧〗空间向量适合解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、结论、推理，只需要通过坐标运算进行判断。解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，能更简单、有效地解决问题，应善于运用这一方法解题。

考法1：空间角问题

1．（2023秋?闵行区校级期末）已知四棱锥，底面为正方形，边长为3，平面．

（1）求证：平面；

（2）若，求直线与平面所成的角大小．

2．（2024春?虹口区期末）如图所示，圆柱的母线长为2，矩形是经过的截面，点为母线的中点，点为弧的中点．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）若圆柱的侧面积为，求直线与平面所成角的正弦值的大小．

3．（2024春?浦东新区校级月考）如图，直三棱柱中，，平面平面．

（1）证明△是直角三角形；

（2）若△的面积为，求直线与平面所成角的大小．

4．（2024?上海）如图为正四棱锥，为底面的中心．

（1）若，，求绕旋转一周形成的几何体的体积；

（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小．

5．（2024?黄浦区校级三模）设在直三棱柱中，，，，依次为，的中点．

（1）求异面直线、所成角的大小（用反三角函数值表示）；

（2）求点到平面的距离．

6．（2024春?嘉定区期末）如图，在正四棱锥中，为底面的中心．

（1）若，，求正四棱锥的体积；

（2）若，为的中点，求直线与平面所成角的大小．

7．（2024春?虹口区期末）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别是棱、的中点，点是棱上的动点，．

（1）当时，证明：直线平面；

（2）若二面角的大小等于，求的值；

（3）记三棱锥的体积为，试将表示为的函数．

8．（2024春?浦东新区校级月考）已知直三棱柱，，，，分别为线段，上的点，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若点到平面的距离为，求直线与平面所成的角的正弦值．

9．（2024春?浦东新区校级期末）如图，点为正四棱柱的上底面的中心，底面的边长为2，点到平面的距离为．试求：

（1）二面角的平面角的大小（用反三角函数表示角的大小）；

（2）点到平面的距离．

10．（2024春?松江区校级期末）在正方体中，是的中点．

（1）求异面直线与所成的角的大小；

（2）求直线与平面所成的角的大小．

11．（2024春?闵行区期末）已知直四棱柱，各棱长均为2，且，设、分别是、的中点．

（1）求直线与所成的角的大小；

（2）求直线与平面所成的角的大小．

12．（2024春?杨浦区期末）如图，三棱柱中，，，垂直于平面．

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）求点到平面的距离．

13．（2024春?青浦区期末）如图1，是水平放置的矩形，．将矩形沿对角线折起，使得平面平面，如图2．设是的中点，是的中点．

（1）求直线与平面所成角的大小；

（2）连接，设平面与平面的交线为直线，求证：．

14．（2024春?宝山区校级月考）三棱柱中，平面，且，，，为中点．

（1）求四面体的体积：

（2）求平面与所成锐二面角的余弦值．

15．（2024春?虹口区校级期中）如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，是等边三角形，为线段的中点，．

（1）求证：平面平面；

（2）若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．

16．（2024春?闵行区校级月考）直四棱柱，，，，，．

（1）求证：面；

（2）若四棱柱体积为36，求二面角的大