2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题2等式与不等式(讲义)含详解.docx

专题02等式与不等式(讲义)

等式与不等式

1.不等式的依据：实数的有序性，即ab?a-b0;ab?a-b0;a=b?a-b=0;

2.等式与不等式的性质：

性质

等式

不等式

意义

a=b?a-b=0

ab=a-b0;ab=a-b0

传递性

a=b,b=c?a=c

ab,bc=→ac

加法性质

a=b?a+c=b+c

ab?a+cb+c

推论

a=b,c=d→a+c=b+d

ab,cda+cb+d

推广

乘法性质

a=b→ac=bc

ab,c0→acbc;ab,c0→acbc

推论

a=b,c=d=ac=bd

ab0,cd0→acbd

推广

a?=b,(i∈N,i≥2)

→a?a?…an=b?b?…bn

a?b?0(i∈N,i≥2)

→a?a?…anb?b?…bn。

乘方性质

a=b,n∈N,n≥1→an=bn

ab0,n∈N,n≥1anbn0

开方性质

a=b0,n∈N,n≥1→0

ab0,n∈N,n≥2→＞0

倒数性质

a＞b，ab＞0

常用结论：

1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.有关分式的性质

(1)若ab0，m0，则eq\f(b,a)eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)eq\f(b－m,a－m)(b－m0).

(2)若ab0，且ab?eq\f(1,a)eq\f(1,b).

二、基本不等式

1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．

(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．

2.基本不等式的证明

（1）.代数证法

（2）.几何证法

如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.可证△ACD~△DCB,因而CD=√ab.由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立.

例已知a,b,c都是正数，证明：

证明：

三、几个重要不等式

1．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．

(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

四、最值定理

(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).

(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．

五、三角不等式

①|a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab≥0时，等号成立）

②|a-b|≤|a|+|b|（当且仅当ab≤0时，等号成立）

③||a|-|b||≤|a+b|（当且仅当ab≤0时，等号成立）

④||a|-|b||≤|a-b|（当且仅当ab≥0时，等号成立）

即a、b∈R?||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|

六、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根

有两相异

实根x1，

x2(x1x2)

有两相等实

根x1＝x2

＝－eq\f(b,2a)

没有

实数根

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

{x|x≠x1}

{x|x∈R}

ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

eq\a\vs4\al(?)

七、分式不等式

（1）

（2）

（3）

（4）

八、绝对值不等式

（1）

（2）；

；

（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解

九、一元高次不等式及其解法

1、概念

只含有一个未知数，最高次项的次数高于二次的不等式称为高次不等式.

2、一元高次不等式的解法

一元高次不等式的常用解法是数轴标根法，又称穿针引线法，其具体步骤为

1.化形：将不等式的一侧化为一次因式或二次不可约因式的积，且每个因式最高次项的系数为正，另一侧化为0;

2.求根，标根；求出各因式所对应的方程的根，在数轴上依次标出

温馨提示:要仔细区分点的虚实.

3.画曲线；数