2025年上海市数学高考一轮复习精讲精练 第10讲空间向量与立体几何（11类核心考点精讲精练）含详解.docx

第10讲空间向量与立体几何（11类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

2024年秋考17题

2024年春考10、14、18题

棱锥的体积、直线与平面所成的角

异面直线及其所成的角，空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系、空间两条直线的位置关系，二面角的平面角及求法、直线与平面垂直

2023秋考12、17题

2023春考15、17题

棱锥的结构特征，二面角的平面角及求法、直线与平面平行

异面直线的判定，直线与平面所成的角、点、线、面间的距离计算

2022秋考5、15、17题

2022春考15、17题

圆柱的侧面积，空间中直线与直线之间的位置关系，棱柱、棱锥、棱台的体积、直线与平面所成的角

空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面所成的角

2021年秋考9、17题

2021年春考3、17题

空间中的最值问题，直线与平面所成的角、三棱锥的体积

圆锥的侧面积，直线与平面所成的角、棱锥的体积

2020年秋考15、17题

2020年春考6、21题

空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面所成的角、圆柱的表面积

几何体的体积，空间点线面的距离的求法

2.备考策略

一、求解空间几何体的外接球问题的策略

(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．

(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的．

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．

二、求解空间几何体的内切球问题的策略

空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．

三、解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法

(1)几何法：根据平面的性质进行判定．

(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算．

(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．

四、在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路

(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值．

(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．

五、作几何体截面的方法

(1)利用平行直线找截面．

(2)利用相交直线找截面．

六、找交线的方法

(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点．

(2)面面交点法：各棱面与截平面的交线．

知识讲解

一、空间几何体的侧面展开图

(1)圆柱的侧面展开图是矩形．

(2)圆锥的侧面展开图是扇形．

(3)圆台的侧面展开图是扇环．

二．旋转体的侧面积和表面积

(1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．

(2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)．

(3)S球表＝4πR2(R为球的半径)．

三．空间几何体的体积公式

(1)V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)．

(2)V锥＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为高)．

(3)V台＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分别为上、下底面面积，h为高)．

(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R为球的半径)．

四、求空间多面体的外接球半径的常用方法

(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可．

五、判断空间直线、平面位置关系的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题．

(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断．

六平行关系及垂直关系的转化

七、异面直线所成的角

设异面直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，异面直线l与m的夹角为θ.

则(1)θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；

(2)cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)

＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1)＋c\o\al(2,1))\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2)＋c\o\al(2,2))).

用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系．

(2)