线段的垂直平分线与角平分线专题复习版.docx

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线段的垂直平分线与角平分线专题复习

知识点复习：

CmAD

C

m

A

D

B

垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点

的距离相等.

定理的数学表示：如图1，∵CD⊥AB，且AD＝BD

∴AC＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等 图1

Cm

C

m

A

D

B

2、线段垂直平分线的判定定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：如图2，∵AC＝BC

∴点C在线段AB的垂直平分线m上.

图2

ikOBj图3

i

k

O

B

j

图3

C

3、关于线段垂直平分线性质定理的推论

关于三角形三边垂直平分线的性质：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到．三．个．顶．点．的距

离相等.

性质的作用：证明三角形内的线段相等.

三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；

若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。

4、角平分线的性质定理：

BDEF

B

D

E

F

∵OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D， ∴CF＝DF.

1

O 图4 C A

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PAGE

PAGE2

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

5、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线

BD

B

D

P

定理的数学表示：如图5，

∵点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC＝PD，

∴点P在∠AOB的平分线上.

O 图5 C A

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角

A

平分线

6、关于三角形三条角平分线的定理： RF

I Q

关于三角形三条角平分线交点的定理： E

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相

等.

B 图6 P D C

定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、 ∠ABC、

∠ACB的平分线，那么：

①AP、BQ、CR相交于一点I；

②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.

三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.

7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；

（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

精品习题：

在△ABC中，∠C=90o，BD是∠ABC的平分线.已知，AC=32，且AD：DC=5：3，则点D到

AB的距离为 .

如图，在△ABD中，AD=4，AB=3，AC平分∠BAD，则S

:S = （ ）

?CBA DCA ?

A．3:4 B．4:3 C．16:19 D．不能确定

如图，ΔABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40、其中三条角平分线将ΔABD分

为三个三角形，则S ：S ：S 等于 .

?ABO ?BCO ?CAO

如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．则∠PAQ的度数为 ．

AD∥BC，∠D=90?，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的关系是（ ）

A．PDPC B．PDPC C．PD=PC D．无法判断

如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修一个超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )

在AC、BC两边高线的交点处

在AC、BC两边中线的交点处

在AC、BC两边垂直平分线的交点处

在∠A、∠B的角平分线的交点处

如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD