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线段的垂直平分线与角平分线

【知识框架】

1、线段垂直平分线的性质

CmAD

C

m

A

D

B

定理的数学表示：如图1，∵CD⊥AB，且AD＝BD

∴AC＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等

图1

CmAD

C

m

A

D

B

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，∵AC＝BC

∴点C在线段AB的垂直平分线m上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 图2

ikOB

i

k

O

B

j

图3

C

关于三角形三边垂直平分线的性质：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到．三．个．顶．点．的距离相

等.

性质的作用：证明三角形内的线段相等.

三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；

若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。

BD

B

D

E

F

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相

等.

定理的数学表示：如图4，

∵OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，且CF⊥OA于点C，DF O

图4 C A

⊥OB 于点D， ∴CF＝DF.

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

5、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

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定理的数学表示：如图5，

∵点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC＝PD，

D

B

∴点P在∠AOB的平分线上.

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角

P

平分线

O

图5

C

A

注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.

A

6、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相

R

F

I

QE

等.

定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内

B

图6

P

D

C

角∠BAC、 ∠ABC、∠ACB的平分线，那么：

①AP、BQ、CR相交于一点I；

②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.

（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：

三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.

7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：

（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；

会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

【典型例题】

例1、如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ）

A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm

【跟踪练习】

如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC= ;

如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是 ;

如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC= .

例2、已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE.

【跟踪练习】

已知：在△ABC中，ON是AB的垂直平分线,OA=OC.求证：点O在BC的垂直平分线.

C

例3、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角

∠B的大小为 。

【跟踪练习】

在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为

。

例4、如图8，已知AD是△ABC的BC边上的高，且∠C＝2∠B，求证：BD＝AC＋CD.

A

B 图8 D C

例5、已知：如图，点B、C在∠A的两