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2025年广东汕头高三数学试题下学期一模预考试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知分别为圆与的直径,则的取值范围为()
A. B. C. D.
2.已知满足,,,则在上的投影为()
A. B. C. D.2
3.已知函数,若,使得,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
4.已知非零向量、,若且,则向量在向量方向上的投影为()
A. B. C. D.
5.已知四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,,平面平面ABCD,当点C到平面ABE的距离最大时,该四棱锥的体积为()
A. B. C. D.1
6.已知,则“直线与直线垂直”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率等于()
A. B. C. D.
8.已知函数(e为自然对数底数),若关于x的不等式有且只有一个正整数解,则实数m的最大值为()
A. B. C. D.
9.某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分,则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本,则这两个样本不变的数字特征是()
A.方差 B.中位数 C.众数 D.平均数
10.设,,分别是中,,所对边的边长,则直线与的位置关系是()
A.平行 B.重合
C.垂直 D.相交但不垂直
11.是的()条件
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
12.若复数满足,则()
A. B. C.2 D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设为偶函数,且当时,;当时,.关于函数的零点,有下列三个命题:
①当时,存在实数m,使函数恰有5个不同的零点;
②若,函数的零点不超过4个,则;
③对,,函数恰有4个不同的零点,且这4个零点可以组成等差数列.
其中,正确命题的序号是_______.
14.在等差数列()中,若,,则的值是______.
15.如图,棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和,并将两弧各五等分,分点依次为、、、、、以及、、、、、.一只蚂蚁欲从点出发,沿正方体的表面爬行至,则其爬行的最短距离为________.参考数据:;;)
16.若四棱锥的侧面内有一动点Q,已知Q到底面的距离与Q到点P的距离之比为正常数k,且动点Q的轨迹是抛物线,则当二面角平面角的大小为时,k的值为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,是的中点.
(1)证明:平面;
(2)设是线段上的动点,当点到平面距离最大时,求三棱锥的体积.
18.(12分)已知函数.
(1)解不等式;
(2)若函数存在零点,求的求值范围.
19.(12分)如图,在正三棱柱中,,,分别为,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成二面角锐角的余弦值.
20.(12分)一酒企为扩大生产规模,决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆,发酵馆内有一个无盖长方体发酵池,其底面为长方形(如图所示),其中.结合现有的生产规模,设定修建的发酵池容积为450米,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,发酵池造价总费用不超过65400元
(1)求发酵池边长的范围;
(2)在建发酵馆时,发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道(为常数).问:发酵池的边长如何设计,可使得发酵馆占地面积最小.
21.(12分)如图,在四面体中,.
(1)求证:平面平面;
(2)若,二面角为,求异面直线与所成角的余弦值.
22.(10分)已知.
(1)求不等式的解集;
(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
由题先画出基本图形,结合向量加法和点乘运算化简可得,结合的范围即可求解
【详解】
如图,其中,所以
.
故选:A
本题考查向量的线性运算在几何中的应用,数形结合思想,属于中档题
2.A
【解析】
根据向量投影的定义,即可求解.
【详解】
在上的投影为.
故选:A
本题考查向量的投影,属于基础题.
3.C
【解析】
试题分析:由题意知,当时,由,当且
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