2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题1集合与逻辑（讲义）含详解.docx

专题01集合与逻辑(讲义)

一、集合及其运算

1．集合的特性：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性；

2．列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内表示集合的方法；

3．描述法：将集合中元素的通性描述出来写在大括号内表示集合的方法；通式：｛x｜x满足P｝；读法：满足条件P的x的集合；

4．空集?是不含任何元素的集合；它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

5．“∈，?”表示元素与集合间的从属关系；“，?”表示集合与集合间的包含关系．

6．给出下列条件：

①集合A中任何一个元素都是集合B中的元素；

②集合B至少存在一个元素不在集合A中；

③集合B中任何一个元素都是集合A中的元素，

如果集合A、B满足①，则A是B的子集（A?B）；

如果集合A、B满足①②，则A是B的真子集（AB）；

如果集合A、B满足①③，则A与B是相等的集合（A＝B）.

注意：①A?B，讨论时别忘A＝?的情况；考察集合的关系借助韦思图；

②几个特殊数集之间的包含关系为：NZQRC（N*表示正整数集）；

③正确区分?、{0}、{?}：?是不含任何元素的集合，即空集。{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0．{?}是含有一个元素?的集合，其关系为：?{0}，?{?}，?∈{?}．

7．集合的含义：

（1）A＝｛x｜y＝f（x）｝表示函数的定义域；

（2）B＝（y｜y＝f（x）｝表示函数的值域；

（3）C＝｛（x，y）｜y＝f（x）｝表示方程y＝f（x）的解的集合，或表示曲线上的点的集合··

8．集合间的基本运算：

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?UA，即?UA＝{x|x∈U，且x?A}．

9．运算性质：

A?B，且B?C?A?C；

??A∩B＝B∩A?A（或B）?A∪B＝B∪A；

A∩B=A∪B;A∪B=A∩B;?=U;U=?

10．几个结论：

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3.容斥定理：记集合M中的元素的个数为Card（M），则Card（A∪B）=Card（A)+Card（B)-Card（A∩B)(可推广到有限个集合)

11．正整数（整数）分类：被2整除与否可分为2k-1,2k（k∈N（或Z），k≥1）；

被3整除与否可分为3k-2,3k-1,3k（k∈N（或Z），k≥1）；

被4整除与否可分为4k-3,4k-2,4k-1,4k（k∈N（或Z），k≥1）；其余依此类推．

二、命题

1.命题的概念

一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题

2.命题的形式

在数学中，“若p,则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.

3.真命题，假命题

命题：“若p,则q”,如果由题设p能够推出结论q,我们称这个命题是真命题，反之则称这个命题是假命题.

温馨提示

一个语句是命题应具备两个条件:一是陈述句;二是能够判断真假.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题，

(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，则是命题；若不能，则不是命题。

(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题。

(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题。

(5)要判定一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断。而判定一个命题是假命题，只需举出一个反例即可

三、充分条件与必要条件

1.充分条件与必要条件

一般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q,记作“p?q”,这时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果“若p,则q”为假命题，那么由p推不出q,记作p?q,这时称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.

2.充要条件

一般地，如果既有p?q,又有q?p,就记作p?q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p?q,那么p与q互为充要条件.

3.常见的