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泛函分析（含答案）

山东师范大学试题

(时间:120分钟共100分)

课程编号:4081331课程名称:数学分析方法适用年级:2004学制:四适用

专业:数学与应用数学试题类别:补考

二、证明题题号一二三阅卷人复核人

得得分

分

阅卷

考生注意事项人

1、全题三个大题，22个小题。(本题共五个小题，每小题14分，共70分):

一、判断题1、证明:连续函数空间在范数下构成一Banach空间。，，

C,,a,bf,maxfxa,x,b得分

阅卷人,1证显然为一线性空间;C,,a,b判断正确(?)与错误(×)(本题10个

小题，每题3分，共30分):

,**2;，，，，，，f,maxfx,0;f,0,maxfx,0,fx,0X,,,,1、()距离空间中

的序列收敛于的充要条件是的任意子列收敛于;txxxx,Xnna,x,ba,x,b

P3112，，，，,f,max,fx,,maxfx,,fa,x,ba,x,b2、()任一离散空间必是

完备的;t3119

3、()全有界集不一定可分;f31221，，，，，，，，f，g,maxfx，

gx,maxfx，maxgx,f，ga,x,ba,x,ba,x,b4、()相对紧集的闭包是紧集;t31334

5、()完备距离空间的闭子空间可能是完备的;f31329因而为一赋范线性

空间C,,a,b

XT:F,F,X闭6、()是完备距离空间，，如果存在，使，,,,0,1

,下证的完备性C,,a,b3

***，则使得;f280Th1，，，，,Tx,Ty,,x,y,,x,y,F，!x,FTx,x

m,n,N设,,是的一基本列，及，，使得时，有,,,0，N,0fC,,a,bn7、()有界

数列空间不是可分的;t2927.6.5m

8、()函相对紧集未必是有界的;f294系1，，,f,f,f,f,,。依范数定义

有，对有,x,,,a,bmnmnTT9、()紧有界线性算子连续有界;t318Th2,

，，，，，，，，，fx,fx,maxfx,fx,f,f，，,x,y,x,y10、()在空间，

中，是相对紧集。f，，X,,0,1:,,2,3F,,0,1mnmnmn,,axb

m,n,N，，，，,,fx,fx,,,,x,a,b从而，当时,1,mn不收敛1,,,n,,，，，

fx,C,,a,b,,，，，，所以在上一致收敛。故使得一致收敛于，

fxfx，，,,a,bfxnn学号姓名院(部)专业考试时间:2008年月日

，，，，,f,f,f,f,0,n,,亦即

密封线

mm

共3页第1页

,,所以的完备性得证C,,a,bTx,Tx，，，，，，，，21

11综合以上三点，即得证,,,,,x,fx,,x，fx,，，，，，，，，2211MM

1,,,,,,,,，，，，，，，，，，，，,x,x,fx,x，

x,xx,x，，，，，，,,2112121yM2、试证紧距离空间上的连续泛函是一致连续

的。m,,，，，，,,1,x,x,,,21X证设是紧距离空间上的连续泛函。下用反证法

证明。fM,,

若不是一致连续的，则必存在，使得对任意的自然数，都存在,,0nf0mmm由

于，所以，令,1,，0,,10,1,,1,1MMM，，，，Xxyxy，使得，而fx,fy,,，又是

紧，，x,y,X,,,,,nn0nnnnnnn，，，，，，，，，，，，便有T,x,T,x,,,x,,x