第7章　章末复习课.docx

一、三角函数式的化简、求值

1.(1)两个基本关系式sin2α+cos2α=1及sinαcos

(2)诱导公式：可概括为k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限

2.化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号.

3.求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角.

4.通过三角函数中公式的正用、逆用及变形应用，提升逻辑推理和数学运算素养.

例1已知f(α)=sin

(1)化简f(α)；

(2)若f(α)=18，且π4απ2，求cosα

(3)若α=-47π4，求f(α)的值

反思感悟三角函数式的求值、化简的策略

(1)化弦：当三角函数式中含有正弦、余弦及正切函数时，往往把切化为弦，再化简变形.

(2)化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称统一为正切，再化简.

(3)“1”的代换：在三角函数式中，有时会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些化简却需要利用公式将1代换为三角函数式.

三角函数式化简的实质是灵活地运用公式进行运算，从而得到一个便于观察和研究的结果，在这个过程中，要体现一个“活”字.当然“活”的体现涉及公式的“活”和角的“活”.

跟踪训练1已知角α的终边上有一点P(1，3)，则sin(π-α)-sinπ2+

A.1 B.-45 C.-1

二、三角函数的图象与性质

1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx+φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.

2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象

(1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换.

3.借助三角函数的图象和性质，培养直观想象和数学运算素养.

例2已知函数f(x)=2sin2ωx-π4-2在x=π4处取得最值，其中ω∈(

(1)求函数f(x)的最小正周期及增区间；

(2)将函数f(x)的图象向左平移π36个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.若α为锐角，且g(α)=43-2，求cosα

反思感悟三角函数的三条性质

(1)单调性：求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A0，ω0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx+φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx的增(减)区间对应解出x，即得所求的增(减)区间.

(2)周期性：函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2πω，y=tan(ωx+φ)的最小正周期为π

(3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y=Acosωx+B的形式.

跟踪训练2已知函数f(x)=sinωx

(ω0)在-4π3，π3上单调，且将函数f(x)的图象向右平移4π个单位长度后与原来的图象重合.当x∈(0，4π)时，使得不等式f(x)≤1

三、三角函数模型的简单应用

例3潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，其形成是海水受日月的引力，潮是指海水在一定的时候发生涨落的现象.一般来说，早潮叫潮，晚潮叫汐.某观测站通过长时间的观测，发现潮汐的涨落规律和函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω0，0φπ2的图象基本一致且周期为4π，其中x为时间，f(x)为水深.当

(1)作出函数f(x)在［0，4π］内的图象，并求出潮汐涨落的频率和初相位；

(2)求海水水深持续加大的时间区间.

反思感悟解三角函数应用问题的基本步骤

跟踪训练3筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动.现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4米，且圆O与水平面的距离为2米，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m.在水面下，则H为负数)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是()

A.H=4sinπ30

B.H=4sinπ30

C.H=4sinπ60

D.H=4sinπ60

答案精析

例1解(1)f(α)=

sin2α·cosα·tan

(2)由f(α)=sinα·cosα=18可知

(cosα-sinα)2

=cos2α-2sinα·cosα+sin2α

=1-2sinα·cosα=1-2×18=3

又∵π4απ2,∴cosαsin

即cosα-sinα0,∴cosα-sinα=-32

(3)∵α=-47π4=-6×2π+π