知识必备01 集合与常用逻辑用语2025年高考一轮复习(解析).docxVIP

高中数学精编资源

PAGE2/NUMPAGES2

专题01集合与常用逻辑用语

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

知识点1集合与元素

1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；

2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示

3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法

4、常见数集的记法与关系图

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*(或N＋)

Z

Q

R

知识点2集合间的基本关系

表示

关系

文字语言

符号语言

图形语言

基本关系

子集

集合A的所有元素都是集合B的元素（则）

或

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A

或

相等

集合A，B的元素完全相同

空集

不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集

知识点3集合的基本运算

1、集合交并补运算的表示

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形语言

符号语言

2、集合运算中的常用二级结论

（1）并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.

（2）交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.

（3）补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?．?U(?UA)＝A；

?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．

知识点4充分条件与必要条件

1、充分条件与必要条件

“若p，则q”为真命题

“若p，则q”为假命题

推出关系

p?q

p?q

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

定理关系

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

2、充要条件

（1）充要条件的定义

如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。

此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。

（2）充要条件的含义

若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，

因为这两个命题的条件与结论不同。

（3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。

知识点5全称量词与存在量词

1、全称量词与全称量词命题

（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．

【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；

（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”

（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．

符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为

【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；

（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；

（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。

2、存在量词与存在量词命题

（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．

【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；

（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。

符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为

【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；

（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；

（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题

3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．

（1）全称量词命题的否定：

一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：．

（2）存在量词命题的否定：

一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：．

（3）命题与命题的否定的真假判断：

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．

即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．

（4）常见正面词语的否定：

正面词语

等于（＝）

大于（＞）

小