苏教版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第8章 函数应用 8.2 函数与数学模型.pptVIP

8.2.1几个函数模型的比较8.2.2函数的实际应用第8章

课标要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律;2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.

内容索引0102基础落实?必备知识全过关重难探究?能力素养全提升03学以致用?随堂检测全达标

基础落实?必备知识全过关

知识点1指数函数、幂函数、对数函数三种模型增长速度的比较性质y=ax(a1)y=xa(a1)y=xy=xa(0a1)y=logax(a1)在区间(0,+∞)上单调性增函数?增函数?增函数图象变化趋势增长速度越来越快,呈“爆炸”趋势,逐渐近似与y轴平行增长速度越来越快增长速度不变增长速度越来越慢增长速度越来越慢,逐渐近似与x轴平行增长速度当x足够大时,?增函数增函数axxalogax

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=x2比y=2x增长的速度快.()(2)对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0)在区间(0,+∞)上总存在一个x0,当xx0时,logaxxn.()×√

2.当x足够大时,下列函数的值最大的是()A.y=exB.y=lnxC.y=x2D.y=e-x答案A解析结合指数函数、对数函数及二次函数的图象变化趋势,可知A正确.

3.“红豆生南国,春来发几枝”,如图所示,给出了红豆生长时间t(单位:月)与枝数y(单位:枝)的散点图,那么下列对红豆的枝数与生长时间的关系拟合最好的函数是()A.y=2tB.y=log2tC.y=t3D.y=2t2

答案A解析根据本题所给的散点图,观察得到图象在第一象限,且从左到右图象是上升的,并且增长速度越来越快,根据四个选项中函数图象特征可得,用指数函数模型拟合最好.故选A.

知识点2常用函数模型常用函数模型(1)一次函数模型y=kx+b(k,b为常数,k≠0)(2)二次函数模型y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)(3)指数函数模型y=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a0且a≠1)(4)对数函数模型y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a0且a≠1)(5)幂函数模型y=axn+b(a,b为常数,a≠0)(6)分段函数

名师点睛建立函数模型解决问题的基本过程实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.()(2)函数模型中,要求定义域只需使函数式有意义.()(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等,否则函数模型就无存在意义了.()(4)利用函数模型求实际应用问题的最大(小)值时,要特别注意取得最大(小)值时的自变量与实际意义是否相符.()×××√

2.某城市现有人口数为100万,如果20年后该城市人口总数不超过120万,那么该市年人口自然增长率大约应控制在多少?解设该市年人口自然增长率为x,依题意得100×(1+x)20≤120,所以(1+x)20≤1.2,两边取常用对数,得20lg(1+x)≤lg1.2,即lg(1+x)≤lg1.2,解得x近似小于或等于0.9%.所以该市年人口自然增长率大约应控制在0.9%.

重难探究?能力素养全提升

探究点一指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例1】函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1x2.(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2021),g(2021)的大小.

解(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.(2)∵f(1)g(1),f(2)g(2),f(9)g(9),f(10)g(10),∴1x12,9x210,∴x16x22021.从图象上可以看出,当x1xx2时,f(x)g(x),∴f(6)g(6);当xx2时,f(x)g(x),∴f(2021)g(2021).又g(2021)g(6),∴f(2021)g(2021)g(6)f(6).

规律方法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数;图象趋于平缓的函数是对数函数.

变式训练1函数f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1的图象