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2025年浙江省杭州市江南实验学校高三(高补班)下学期第三次月考数学试题试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若、满足约束条件,则的最大值为()
A. B. C. D.
2.函数的最大值为,最小正周期为,则有序数对为()
A. B. C. D.
3.若复数(为虚数单位),则的共轭复数的模为()
A. B.4 C.2 D.
4.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为
A. B. C. D.
5.已知(),i为虚数单位,则()
A. B.3 C.1 D.5
6.如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()
A.20 B.27 C.54 D.64
7.设递增的等比数列的前n项和为,已知,,则()
A.9 B.27 C.81 D.
8.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,下列命题正确的是()
A.若,,,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
9.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的离心率等于()
A. B. C. D.
10.已知在中,角的对边分别为,若函数存在极值,则角的取值范围是()
A. B. C. D.
11.等比数列若则()
A.±6 B.6 C.-6 D.
12.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗为十升).问,米几何?”下图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S=15(单位:升),则输入的k的值为()
?
A.45 B.60 C.75 D.100
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.平面区域的外接圆的方程是____________.
14.某校共有师生1600人,其中教师有1000人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为80的样本,则抽取学生的人数为_____.
15.在中,,,则_________.
16.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与双曲线左支交于两点,,的内切圆的圆心的纵坐标为,则双曲线的离心率为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)的内角,,的对边分别是,,,已知.
(1)求角;
(2)若,,求的面积.
18.(12分)已知椭圆:()的左、右顶点分别为、,焦距为2,点为椭圆上异于、的点,且直线和的斜率之积为.
(1)求的方程;
(2)设直线与轴的交点为,过坐标原点作交椭圆于点,试探究是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
19.(12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,.
(1)证明:平面平面ABCD;
(2)设H在AC上,,若,求PH与平面PBC所成角的正弦值.
20.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程是为参数),曲线的参数方程是为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线和曲线的极坐标方程;
(2)已知射线与曲线交于两点,射线与直线交于点,若的面积为1,求的值和弦长.
21.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.
22.(10分)已知实数x,y,z满足,证明:.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C
【解析】
作出不等式组所表示的可行域,平移直线,找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解,代入目标函数计算即可.
【详解】
作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.
由,得,平移直线,当直线经过点时,该直线在轴上的截距最大,此时取最大值,
即.
故选:C.
本题考查简单的线性
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