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第七章解三角形（高中数学竞赛标准教材）

第七解三角形

一、基础知识

在本中约定用A，B，分别表示△AB的三个内角，a,b,分别表示它

们所对的各边长，为半周长。

1．正弦定理：=2R（R为△AB外接圆半径）。

推论1：△AB的面积为S△AB=

推论2：在△AB中，有bs+sB=a

推论3：在△AB中，A+B=，解a满足，则a=A

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。

先证推论1，由正弦函数定义，B边上的高为bsin，所以S△AB=；

再证推论2，因为B+=-A，所以sin(B+)=sinA，即sinBs+sBsin=sinA，

两边同乘以2R得bs+sB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即

sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[s(-A+a)-s(-A-a)]=

[s(-a+A)-s(-a-A)]，等价于s(-A+a)=s(-a+A)，因为0lt;-A+a，

-a+Alt;所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。

2．余弦定理：a2=b2+2-2bsA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△AB中，D是B边上任意一点，BD=p，D=q，

则AD2=（1）

【证明】因为2=AB2=AD2+BD2-2AD#8226;BDs，

所以2=AD2+p2-2AD#8226;ps①

同理b2=AD2+q2-2AD#8226;qs，②

因为ADB+AD=，

所以sADB+sAD=0，

所以q×①+p×②得

q2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=

注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式

（2）海伦公式：因为b22sin2A=b22(1-s2A)=b22[(b+)-a2][a2-(b-)

2]=p(p-a)(p-b)(p-)

这里

所以S△AB=

二、方法与例题

1．面积法。

例1（共线关系的张角公式）如图所示，从点发出的三条射线满足，

另外P，Q，R的长分别为u,,v，这里α，β，α+β∈(0,)，则P，Q，

R的共线的充要条是【证明】P，Q，R共线

(α+β)=usinα+vsinβ

，得证。

2．正弦定理的应用。

例2如图所示，△AB内有一点P，使得BP-BA=PA-BA=APB-AB。

求证：AP#8226;B=BP#8226;A=P#8226;AB。

【证明】过点P作PDB，PEA，PFAB，垂足分别为D，E，F，则

P，D，，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+

PDF=PA+PBA=BP-BA。由题设及BP+PA+APB=3600可得BA+

BA+AB=1800。

所以BP-BA=PA-BA=APB-AB=600。

所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。

所以DE=EF=DF，由正弦定理，DsinAB=APsinBA=BPsinAB，两边

同时乘以△AB的外接圆直径2R，得

P#8226;BA=AP#8226;B=BP#8226;A，得证：

例3如图所示，△AB的各边分别与两圆⊙1，⊙2相切，直线GF与

DE交于P，求证：PAB。

【证明】延长PA交GD于，

因为1GB，2DB，所以只需证

由正弦定理，

所以

另一方面，，

所以，

所以，所以PA//1G，

即PAB，得证。

3．一个常用的代换：在△AB中，记点A，B，到内切圆的切线长分