2024届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角.doc

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2024届高考数学立体几何〔理科〕专题02二面角

1．如图，在三棱柱中，侧面底面.

(1)求证：平面；

(2)假设,求二面角的余弦值.

2．如以下列图的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面平面，点为的中点．

〔1〕过点作一个平面与平面平行，并说明理由；

〔2〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.

〔1〕证明：平面平面；

〔2〕假设为的中点，且，求二面角的大小.

4．如以下列图的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面.

〔1〕求证：；

〔2〕求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

5．在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.

〔1〕求证：平面；

〔2〕假设，求平面DEF与平面所成锐二面角的余弦值.

6．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,平面底面,为中点,是棱上的点,.

〔Ⅰ〕假设点是棱的中点,求证:平面;

〔Ⅱ〕求证:平面平面;

〔Ⅲ〕假设二面角为,设,试确定的值.

2024届高考数学立体几何〔理科〕专题02二面角〔教师版〕

1．如图，在三棱柱中，侧面底面.

(1)求证：平面；

(2)假设,求二面角的余弦值.

【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕.

侧面底面，侧面，.

又,平面.

(2)在中，,又菱形中，，为正三角形.

设为平面的方向量，那么

令,得为平面的一个法向量.又为平面的一个法向量，

.二面角的余弦值为.

2．如以下列图的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面平面，点为的中点．

〔1〕过点作一个平面与平面平行，并说明理由；

〔2〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】〔1〕见解析；〔2〕

试题解析：〔1〕取的中点，的中点，连接、、，

如以下列图．那么平面平面，平面即为所求的平面．

理由如下：在平行四边形中，点分别是与的中点，

所以，在中，点分别是的中点，所以．

显然，，所以平面平面，亦即平面平面．

〔2〕不妨设,,，故,．

在平行四边形中，，所以．

取的中点，那么．又平面平面，平面平面，所以平面．

连接，因为，，所以，又，所以．

如以下列图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，那么，，，，，，,，．

所以，，，．

设平面的法向量为，

那么由，即，整理得．令，．所以．

所以．

3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.

〔1〕证明：平面平面；

〔2〕假设为的中点，且，求二面角的大小.

【答案】〔1〕见解析〔2〕

试题解析：〔1〕证明：∵，∴，∴，∴.

又∵底面，∴.∵，∴平面.

而平面，∴平面平面.

〔2〕解：由〔1〕知，平面，

∴，∴.故，.

设平面的法向量为，那么，即，令，得.

易知平面的一个法向量为，那么，∴二面角的大小为.

4．如以下列图的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面.

〔1〕求证：；

〔2〕求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕.

又棱台中，

∴

(2)建立空间直角坐标系如以下列图，那么，，，，，，所以，，，，

设平面的一个法向量为，那么,

∴，.令，得，∴；

设平面的法向量为，那么,

∴，令，得，，∴，

设平面与平面所成锐二面角为，那么，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

5．在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.

〔1〕求证：平面；

〔2〕假设，求平面DEF与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】〔1〕见解析〔2〕

试题解析：〔I〕证明：取中点，连接．在△中，有分别为、中点

而平面，平面平面

〔II〕取中点，连接，设.四边形是矩形

平面平面,平面平面=，平面

平面又，，为中点

，，.

故可建立空间直角坐标系，如以下列图，那么

，，，，

，

，

设是平面的一个法向量，那么，

即不妨设，那么．

易知向量为平面的一个法向量．

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

6．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,平面底面,为中点,是棱上的点,.

〔Ⅰ〕假设点是棱的中点,求证:平面;

〔Ⅱ〕求证:平面平面;

〔Ⅲ〕假设二面角为,设,试确定的值.

试题解析：

因为平面,平面所以平面.

〔Ⅱ〕因为为中点,

所以四边形为平行四边形,所以.

因为,所以,即.

又因为平面平面,且平面平面