小六数学第21讲：数论综合(学生版).pdfVIP

第二十一讲数论综合

数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较

多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除

性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比

较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容

有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。

基本公式

1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。

2.已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。

3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

n=pa1×pa2×...×pak（#)

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其中pp...p为质数，a,a,a为自然数，并且这种表示是唯一的。

12k12k

该式称为n的质因子分解式。

4.约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）

那么n的约数个数为d(n)=(a+1)(a+1)(a+1)

12k

所有约数和：（1+P+P2+…pa1）（1+P+P2+…pa2）…（1+P+P2+…pak）

111222kkk

5.用[a,b]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。

6.自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。

7.平方数的总结：

①平方差：A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。

②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。

3322

④立方和：A+B=(A+B)(A-AB+B)。

8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。

9.周期性数字：abab=ab×101

1.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。

2.牢记基本公式，并在解题中灵活运用公式。

例1:将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24

个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是

不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出

这24个四位数中最大的一个。

例2：一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？

例3：由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？

例4：从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，

如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按

照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？

例5：一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作一根标记线，

请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？

例6：某住宅区有12家住户，他们的门牌号分别是1，2，…,12.他们的电话号码依次是12

个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码

的首位数字都小于6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被13整除，问：这一家的

电话号码是什么数？

A

1．一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.

2．下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已知这

991个991个

个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是___