第7章　7.3.2　第1课时　正弦函数、余弦函数的图象.docx

7.3.2三角函数的图象与性质

第1课时正弦函数、余弦函数的图象

[学习目标]1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象.3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题.

导语

网上百度一下一个物理实验:“沙摆实验”,就是将一个装满细砂的漏斗挂在一个铁架上做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直的木板上,我们通过实验看看落在木板上的细砂轨迹是什么?这个轨迹与我们今天要学习的正弦函数、余弦函数的图象有关.

一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识

问题1结合之前所学,研究函数的一般步骤是什么?

提示先确定函数的定义域,然后画出函数图象,通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.

问题2绘制函数图象,首先要准确绘制其上一点,对于正弦函数,在[0,2π]上任取一个值x0,如何借助单位圆确定正弦函数值sinx0,并画出点T(x0,sinx0)?

提示如图,在x轴上任取一点O,以O为圆心,单位长为半径作圆.在☉O中,设AP的长为x0(即∠AOP=x0),则MP=sinx0,所以点S(x0,sinx0)是以AP的长为横坐标,正弦线MP的数量为纵坐标的点.

问题3我们已经学会绘制函数图象上的点,接下来,如何画函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象?

提示在☉O中,作出对应于π6,π3,π2,…,11π6的角及相应的正弦线,相应地,把x轴上从0到2π这一段分成12等份.把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合,再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到正弦函数y=sinx在[0,2π]

最后我们只要将函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图象.

问题4如何画余弦函数的图象呢?

提示根据诱导公式sinx+π2=cosx,将正弦曲线向左平移π2

知识梳理

正弦函数、余弦函数的图象

函数

y=sinx

y=cosx

图象

曲线

正弦曲线:正弦函数的图象

余弦曲线:余弦函数的图象

例1(1)函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象与直线y=-23的交点的个数为()

A.0 B.1

C.2 D.3

答案C

解析在同一平面直角坐标系内,先画函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,再画直线y=-23,可知所求交点的个数为2

(2)根据函数y=sinx的图象,可得方程sinx=0的解为()

A.x=2kπ(k∈Z)

B.x=kπ(k∈Z)

C.x=π2+kπ(k∈Z)

D.x=3π2+2kπ(k∈Z

答案B

解析由题意和正弦函数y=sinx的图象可知,sinx=0的解为x=kπ(k∈Z).

反思感悟解决正弦、余弦函数图象的注意点

对于正弦、余弦函数的图象问题,要画出正确的正弦曲线、余弦曲线,掌握两者的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.

跟踪训练1下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述,不正确的是()

A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到

B.都是对称图形

C.都与x轴有无数个交点

D.y=sin(-x)的图象与y=sinx的图象关于x轴对称

答案A

解析由正弦、余弦函数的图象知,B,C,D正确.

二、“五点法”画函数的图象

知识梳理

“五点法”作图

函数

y=sinx

y=cosx

图象画法

五点法

五点法

关键五点

(0,0),π2

(π,0),

3π2

(2π,0)

(0,1),π2

(π,-1),

3π2

(2π,1)

例2用“五点法”作出下列函数的简图:

(1)y=sinx-1,x∈[0,2π];

(2)y=-2cosx+3,x∈[0,2π].

解(1)列表:

x

0

π

π

3π

2π

sinx

0

1

0

-1

0

sinx-1

-1

0

-1

-2

-1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.

(2)列表:

x

0

π

π

3π

2π

-2cosx

-2

0

2

0

-2

-2cosx+3

1

3

5

3

1

描点、连线得出函数y=-2cosx+3,x∈[0,2π]的图象,如图所示.

反思感悟作形如y=asinx+b(或y=acosx+b),x∈[0,2π]的图象的步骤

跟踪训练2利用“五点法”作出函数y=2+cosx(0≤x≤2π)的简图.

解列表:

x

0

π

π

3π

2π

cosx

1

0

-1

0

1

2+cosx

3

2

1

2

3

描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.

三、正弦函数、余弦函数图象的应用

例3方程2sinx-1=0,x∈[0,2π]的解集为.?

答案π

解析因为2sin