三角数学史_原创文档.pdfVIP

2.2.2三角函数史

三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础，应用于测量为目的，同时也研究三角函

数的性质及其应用的一门学科。

三角学起源于生活实践。例如古埃及人为了建筑金字塔，整理尼罗河泛滥后的耕地以及

通商航海观察天象等测量的需要，产生和积累了有关的三角学知识；又如古印度人也是由天

文测量的需要而得到三角学的有关内容。

古代三角学的萌芽可以说是希腊哲学家泰勒的相似理论，而希腊的天文学家喜帕恰

（Hipparchus？～公元前125年），曾著有三角学12卷，大概可以认为是古代三角学的创

始人。

三角测量在中国也很早出现，公元前一百多年的《周髀算经》就有较详细的说明，例如

它的首章记录”周公曰，大哉言数，请问用矩之道。商高曰，平矩以正绳、偃矩以望高、复

矩以测深、卧矩以知远。”（商高说的矩就是现今工人用的两边互相垂直的曲尺，商高说的

大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度。）

1世纪时的《九章算术》中有专门研究测量问题的篇章，3世纪时齐徽所注的《海岛算

经》中更有运用“重差术”，通过多次观察来解决不可达高度与距离问题的测量专著。

但古代三角学只是作为天文学的一部分内容而已，直到13世纪中亚数学家纳速拉丁在

总结前人成就的基础上，著成《完全四边形》一书，才为把三角学从天文学中独立出来奠定

了基础。直到15世纪，德国的雷格蒙塔努斯（J.Regiomontanus，1436—1476）的《论三角》

一书的出版，才标志古代三角学正式成为独立的学科。这本书中不仅有很精密的正弦表、余

弦表等，而且给出了现代三角学的雏形。

16世纪法国数学家韦达（F.Viete，1540—1603）则更进一步将三角学系统化，在他对

三角法研究的第一本著作《应用于三角形的数学法则》中，就有解直角三角形、斜三角形等

的详述，并且还有正切定理以及差化积定理等。

使人注目的是18世纪瑞士数学家欧拉（L.Euler，1707一1783），他首先研究了三角

函数。这使三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来，成为反映现实世界中某些运动

和变化的一门具有现代数学特征的学科。欧拉不仅用直角坐标来定义三角函数，彻底解决了

三角函数在四个象限中的符号问题，还引进了弧度值。更可贵的是他发现了著名的欧拉公式

eix=cosx＋isinx，把原来人们认为互不相关的三角函数和指数函数联系起来了，为三角

学增添了新的活力。

由上述可见三角学是源于测量实践，其后经过了漫长时间的孕育，众多中外数学家的不

断努力，才逐渐丰富，演变发展成为现在的三角学。

3.3音乐与数学

数学可以说是无所不及，数学和音乐也存在着千丝万缕的联系。德国古典哲学家康德说

过：“在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学。”俄国作典家、指

挥家和钢琴家斯特拉文斯基则更是指出，“音乐家应该懂得，对数学的研究就像一个诗人学

习另外一种语言一样有用”。爱因斯坦也说过：“这个世界可以由音乐的音符组成，也可由

数学的公式组成。”可见数学和音乐是密切相关联的。

笔者根据网上收集的一些资料加以整理，通过一些初等的数学推导来解释音乐中的一些

理论问题并兼谈数学在音乐上的应用，从而说明数学在音乐发展中的重要地位。我们从古希

腊数学家对音乐的研究出发，延伸到现代的偏微分方程；然后用数学方法推导出著名的十二

平均律并说明它是最佳的律制。

从古希腊数学家对音乐的认识到弦振动方程

音乐发展和数学发展相结合可以追溯到古希腊时期。有这样一个关于古希腊大数学家毕

达哥拉斯发现音乐和声的基本原理的故事：

他在一个铁匠铺里认识到那些彼此间音调和谐的锤子有一种简单的数学关系——它们

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的质量彼此之间成简单比，或者说简分数，即那些重量等于某一把锤子重量的、或的

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锤子都能产生主谐的声响。另一方面，那把和任何别的锤子一起敲打时发出噪声的