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第九章集合基数1
第九章集合基数
主要内容
1.集合的等势与优势
2.集合的基数
学习要求
1.掌握:集合之间等势与优势的概念,等势的性质(自反性,对称性,传递性)
2.掌握:证明集合等势的方法,康托定理的内容及证明方法
3.掌握:自然数、自然数集、有穷集、无穷集的定义与主要性质
4.掌握:集合基数的定义、基数的比较、可数集的定义与主要性质
9.1集合的等势与优势
一.集合的等势
通俗的说,集合的势是量度集合所含元素多少的量。集合的势越大,所含的元素越多。
定义9.1ABABAB等势
设,是集合,如果存在着从到的双射函数,就称和是的,
ABABAB
记作≈。如果不与等势,则记作。
下面给出一些集合等势的例子。
例9.1
(1)ZN8.6(3)
≈。回顾上一章例,令
fZN
:→,
fZNZN
则是到的双射函数。从而证明了≈。
(2)NNN.NNN
×≈为建立×到的双射函数,只需把中所有的元素排成一个有序图形,
9.1NN()
如图所示。×中的元素恰好是坐标平面上第一象限含坐标轴在内中所有整数坐标
NNN
的点。如果能够找到“数遍”这些点的方法,这个计数过程就是建立×到的双射函
00
数的过程。按照图中箭头所标明的顺序,从,开始数起,依次得到下面的序列:
0,0,0,1,1,0,0,2,1,1,2,0,…
↓↓↓↓↓↓
012345
mnkmnk
设,是图上的一个点,并且它所对应的自然数是。考察,,之间的关系。
mn
首先计数,点所在斜线下方的平面上所有的点数,是
第九章集合基数2
1+2+…+(m+n)=
然后计数m,n所在的斜线上按照箭头标明的顺序位于m,n点之前的点数,是m.因此
mn+m+1
,点是第个点。这就得到
k=+m
NNNf
根据上面的分析,不难给出×到的双射函数,即
fNNN
:×→
f(mn)=+m
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