离散数学结构 第9章 集合基数复习.pdfVIP

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第九章集合基数1

第九章集合基数

主要内容

1.集合的等势与优势

2.集合的基数

学习要求

1.掌握:集合之间等势与优势的概念,等势的性质(自反性,对称性,传递性)

2.掌握:证明集合等势的方法,康托定理的内容及证明方法

3.掌握:自然数、自然数集、有穷集、无穷集的定义与主要性质

4.掌握:集合基数的定义、基数的比较、可数集的定义与主要性质

9.1集合的等势与优势

一.集合的等势

通俗的说,集合的势是量度集合所含元素多少的量。集合的势越大,所含的元素越多。

定义9.1ABABAB等势

设,是集合,如果存在着从到的双射函数,就称和是的,

ABABAB

记作≈。如果不与等势,则记作。

下面给出一些集合等势的例子。

例9.1

(1)ZN8.6(3)

≈。回顾上一章例,令

fZN

:→,

fZNZN

则是到的双射函数。从而证明了≈。

(2)NNN.NNN

×≈为建立×到的双射函数,只需把中所有的元素排成一个有序图形,

9.1NN()

如图所示。×中的元素恰好是坐标平面上第一象限含坐标轴在内中所有整数坐标

NNN

的点。如果能够找到“数遍”这些点的方法,这个计数过程就是建立×到的双射函

00

数的过程。按照图中箭头所标明的顺序,从,开始数起,依次得到下面的序列:

0,0,0,1,1,0,0,2,1,1,2,0,…

↓↓↓↓↓↓

012345

mnkmnk

设,是图上的一个点,并且它所对应的自然数是。考察,,之间的关系。

mn

首先计数,点所在斜线下方的平面上所有的点数,是

第九章集合基数2

1+2+…+(m+n)=

然后计数m,n所在的斜线上按照箭头标明的顺序位于m,n点之前的点数,是m.因此

mn+m+1

,点是第个点。这就得到

k=+m

NNNf

根据上面的分析,不难给出×到的双射函数,即

fNNN

:×→

f(mn)=+m

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