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深度学习视角下数学关键性概念的教学探索

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张琪虞秀云

[摘?要]数学概念反映了现实世界空间形式和数量关系的本质属性，是培养学生数学素养的重要内容.文章基于深度学习理论，以向量概念的教学为例，探索如何实现数学概念的深度学习.

[关键词]数学概念;深度学习;平面向量;教学设计

在高中数学中，有很多关键性的概念，如集合、函数、向量、复数等，它们是存在于人类思维中的抽象物，蕴含着丰富的数学思想和方法，是把握数学本质、启发学生高阶思维的重要载体.但在当前的数学教学中，机械的、死记硬背的概念学习带来的只是碎片化、孤立的浅层知识.《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质[1].在这一背景下，数学教学有必要从浅层学习向深度学习转变.本文就深度学习如何落实到向量概念教学中进行了初步探索.

数学概念的深度学习

数学概念构成了学科的骨架，高度凝练出数学知识的本质，这决定了数学概念需要学生进行深度学习.正如黎加厚教授指出：深度学习意味着理解与批判、联系与构建、迁移与应用[2].笔者认为，指向数学概念的深度学习也有以下特征：（1）批判性地理解复杂的数学概念，体验概念形成过程;（2）关注概念间的相互联系，建构完整的知识结构体系;（3）面向问题解决，实现迁移应用.

“平面向量的概念”教学设计

“从位移、速度、力到向量”选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修4）》（北京师范大学出版社，2004）第二章第1节.

1.内容解析，解读教材本质

向量的概念是平面向量这一章的起始课，更是研究向量的出发点.作为高中数学重要概念之一，向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，兼有“数”“形”的双重属性，为学生开拓了研究数学问题的新思路.但是，作为数学思维的对象，向量“脱离”了现实世界，学生往往对向量的性质、零向量、自由向量等人为规定感到困惑.因此，教学设计将围绕“向量是什么”“向量是如何抽象得到的”“类比数的学习思路，我们如何研究向量”这三个问题，帮助学生深入理解概念的本质属性.

2.学情分析，关注知识起点

学生不是空着脑袋进入课堂的，让原有知识结构成为新知的“生长点”，教学可以事半功倍.对于向量概念的学习，可以类比数的抽象、有理数、实数等学习内容，体会概念学习的基本思路，有序展开平面向量的学习.对于本节内容，学生新旧知识的联系如图1所示.

3.教学过程

（1）创设情境，亲历抽象过程.

视频播放：射击运动员射击比赛（如圖2）.

问题1：射击运动员射中靶子的过程中涉及了物理中的哪些量？

问题2：力和位移是物理中的量，它们有什么特点？生活中还有这样的量吗？

问题3：这些量和我们数学中的数量有什么区别？

预设活动：教师引导学生从对力、位移的分析中，归纳出它们的共同特征——方向与大小，并对比数量，突出向量的特征，从而自然地引出向量的定义：在数学中，我们把这种既有大小又有方向的量叫作向量.

设计意图：借助丰富的物理背景，亲身经历从“大小”和“方向”两个要素抽象出数学概念的过程，揭开数学概念神秘的面纱，让学生感受到数学概念来源于真实的生活，从而激发深度学习的动机.

问题4：既然物理中已经有了矢量，有大小又有方向，为什么今天在数学课上，我们还要给它一个新名字“向量”呢？它们有什么区别？

预设活动：通过积极思考，交流讨论，学生能够认识到：向量虽然来源于对力、位移等矢量的抽象，但是不同于物理中的重力、浮力有作用点，可以感受到，向量是存在思维中的数学模型，二者有着本质的区别.

追问：数量可以比较大小，向量也有“大小”属性，是不是也可以比较大小？

预设回答：不可以，向量有大小又有方向，作为一个整体的向量不可以比较大小.

设计意图：对矢量、数量、向量三者的类比辨析，可以引发学生的批判性思考，避免概念学习的表面化，深刻地认识到数学有别于其他学科的高度抽象性，在数学知识的联系与区别中加深理解.

（2）类比探究，深入概念本质

①向量的表示

问题1：刚刚我们对比了数量和向量的区别，现在不妨回忆一下数的学习，通过一支笔、一棵树……我们抽象出了数，紧接着呢？

预设回答：学习了阿拉伯数字.

追问：也就是数的表示，除了阿拉伯数字，还可以怎么表示数？

预设回答：还有字母符号表示数或者用数轴上的点表示数.

问题2：同样地，在对向量下定义之后，我们要研究什么问题？

预设回答：向量的表示.

追问：请同学们类比数的图形与符号表示法，想一想怎么表示出向量的“大小”和“方向”？

预设活动：在学生动手尝试后，引导学生不断完善得出：用带有箭头的有向线段表示向量的几何法;接着回到书本，介绍向量的符号表示法;最后介绍向量的模——用符号表示向量的大小.

设计意图：通过回顾数的认