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甘肃肃兰州市第五十一中学2025届高三冲刺高考最后1卷数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.是平面上的一定点,是平面上不共线的三点,动点满足,,则动点的轨迹一定经过的()
A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心
2.函数在的图象大致为()
A. B.
C. D.
3.设,,,则()
A. B. C. D.
4.如图,将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形,将平行四边形沿对角线折起,使平面平面,则直线与所成角余弦值为()
A. B. C. D.
5.已知方程表示的曲线为的图象,对于函数有如下结论:①在上单调递减;②函数至少存在一个零点;③的最大值为;④若函数和图象关于原点对称,则由方程所确定;则正确命题序号为()
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
6.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为()
A. B. C. D.
7.由曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为()
A.1 B. C. D.
8.若复数(为虚数单位),则()
A. B. C. D.
9.已知的值域为,当正数a,b满足时,则的最小值为()
A. B.5 C. D.9
10.已知点、.若点在函数的图象上,则使得的面积为的点的个数为()
A. B. C. D.
11.在中,“”是“为钝角三角形”的()
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a=()
A. B. C.2 D.﹣2
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.记等差数列和的前项和分别为和,若,则______.
14.若,则_________.
15.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为____________.
16.已知为椭圆上的一个动点,,,设直线和分别与直线交于,两点,若与的面积相等,则线段的长为______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知的面积为,且.
(1)求角的大小及长的最小值;
(2)设为的中点,且,的平分线交于点,求线段的长.
18.(12分)已知
(1)若,且函数在区间上单调递增,求实数a的范围;
(2)若函数有两个极值点,且存在满足,令函数,试判断零点的个数并证明.
19.(12分)已知函数,,使得对任意两个不等的正实数,都有恒成立.
(1)求的解析式;
(2)若方程有两个实根,且,求证:.
20.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为.若直线交曲线于,两点,求线段的长.
21.(12分)在中,内角的对边分别为,且
(1)求;
(2)若,且面积的最大值为,求周长的取值范围.
22.(10分)已知椭圆的离心率为,椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线与椭圆C交于两点,是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.B
【解析】
解出,计算并化简可得出结论.
【详解】
λ(),
∴,
∴,即点P在BC边的高上,即点P的轨迹经过△ABC的垂心.
故选B.
本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用,根据条件中的角计算是关键.
2.C
【解析】
先根据函数奇偶性排除B,再根据函数极值排除A;结合特殊值即可排除D,即可得解.
【详解】
函数,
则,所以为奇函数,排除B选项;
当时,,所以排除A选项;
当时,,排除D选项;
综上可知,C为正确选项,
故选:C.
本题考查根据函数解析式判断函数图像,注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用,属于基础题.
3.A
【解析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.
【详解】
,,,因此,故选:A.
本题主要考
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