经济数学——微积分（第2版）全套PPT课件.ppt

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．（1）分割把区间[a,b]分成n个小区间，第i个小区间的长度为（2）近似曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为（3）求和（4）取极限实例2（收益问题）思路：把整个销售量段分割成若干小段，每小段上价格看作不变，求出各小段的收益再相加，便得到整个收益的近似值，最后通过对销售量的无限细分过程求得收益的精确值．设某商品的价格P是销售量x的函数P=P(x).求当销售量从a变到b时的收益R为多少？（1）分割部分收益值某销售量时的价格（3）求和（4）取极限收益的精确值（2）近似二、定积分的定义定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]内插入n-1个分点,a=x0x1xn=b,把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n),记△xi=xi-xi-1为第i个小区间的长度，在小区间上任取一点ξi,作和式记如果当λ→0时,极限被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限存在，且与分点xi和ξi的取法无关，就称函数f(x)在[a,b]上可积，并把该极限称为f(x)在[a,b]上的定积分，记为注意：（1）定积分的值仅与被积函数和区间有关，与区间的分法和ξi的取法是无关的.（2）定积分的值与积分变量的字母无关.(3)对定积分的补充规定:1）当a=b时，2）当ab时，以后在不说明的情况下，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．（4）可积的条件1）若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积；2）若函数f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积.曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义和经济意义几何意义：经济意义：如果已知某一经济量的变化率为f(x),则表示x从a到b这一阶段的经济总量的变化量．例1利用定义计算定积分解四、小结1．定积分的实质：特殊和式的极限．2．定积分的思想和方法：分割化整为零近似以直代曲取极限精确值——定积分求和积零为整一、定积分的性质二、小结3.5定积分的性质经济数学——微积分（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）性质1一、定积分的性质性质2性质3（定积分对于积分区间具有可加性）不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.假设acb性质4性质5性质5的推论：解令于是证——估值不等式性质6设M和m是连续函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，例2估计的大小.先求最大、最小值解：设f(x)=e-x2求得驻点解四、小结两类换元积分法：（一）凑微分（二）根式代换、三角代换、倒代换基本积分表(13)～（21）有理函数的积分：部分分式一、分部积分法二、小结3.3不定积分的分部积分法经济数学——微积分解决思路利用两个函数乘积的求导法则.——分部积分公式一、分部积分法问题例1求解：取例2求解：取例3求解（一）令显然，选择不当，积分难以进行.解（二）令例4求解：（再次使用分部积分法）总结1：若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)例5求解：令例6求解：总结2：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u.例7求解：在运算过程中又出现待求的算式，称这种方法为还原法.总结3：若被积函数是指数函数与三角函数的乘积，其中任一函数形式均可选为u.例8求解：移项，得所以例9求解：设解:两边同时对求导,得例10已知f(x)的一个原函数是e-x2，求∫xf(x)dx.注意：有些初等函数的原函数存在，但并不能用初等函数表示，称为“积不出来”，如二、小结2、正确使用分部积分公式.1、注意被积函数的类型，合理选择u和dv.（总结1、2、3）一、问题的提出二、定积分的定义三、几何意义和经济意义四、小结3.4定积分的概念经济数学——微积分abxyo实例1（求