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广东省深圳市罗湖区深圳中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
命题人:郭胜宏 审题人:潘豪、唐夷非
考试用时:120分钟 卷面总分:150分
注意事项:答案写在答题卡指定的位置上,写在试题卷上无效。选择题作答必须用2B铅笔。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位,复数满足,则的共轭复数在复平面内对应的点在()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动,教师随机分成三组,每组至少一人,则甲、乙在同一组的概率为()
A. B. C. D.
3.已知是虚数单位,复数,则复数的虚部等于()
A.1 B.-1 C. D.
4.已知是两个不共线向量,且,则()
A.三点共线 B.三点共线
C.三点共线 D.三点共线
5.已知向量是两个不共线向量,点在线段BA的延长线上(如图),且,则()
A. B.
C. D.
6.袋中装有6个完全相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字为1”,事件“第一次取出的球的数字为2”,事件“两次取出的球的数字之和为8”,事件“两次取出的球的数字之和为7”,则()
A.与相互独立 B.与相互独立
C.与相互独立 D.与相互独立
7.已知,则与夹角的余弦值为()
A. B. C. D.
8.在中,角所对的边分别为若,则外接圆半径等于().
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的按部分得分,有选错的得0分.
9.若是复数,则下列命题正确的是()
A. B.
C. D.
10.已知向量满足,则下列结论正确的是()
A. B.
C. D.在方向上的投影向量为
11.如图,某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船,正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去,1小时后,巡逻艇到达C处,走私船到达D处,此时走私船发现了巡逻艇,立即改变航向,以原速向正东方向逃窜,巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着东偏北α角方向直线追击,恰好在E点处追到走私船,则().
A. B.当走私船发现了巡逻艇时,两船相距海里
C.∠BCE为钝角 D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾.经分拣以后数据统计如下表(单位:t):
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
则可估计居民生活垃圾投放错误的概率为___________.
13.在中,角所对的边分别是已知.则的面积等于________________.
14.如图,在梯形ABCD中,.若,则的值为______________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分13分)
已知,求为何值时:
(1); (2); (3)与的夹角为锐角.
16.(本题满分15分)
从集合中随机取两次数,每次取一个.记第一次取的数为,第二次取的数为,两次取数结束,算作一次试验,试验结果记为.
(1)写出这个试验的样本空间,以及中样本点的个数;
(2)事件“”包含哪几个样本点?事件“且”包含哪几个样本点?
(3)若事件,求.
17.(本题满分分)
在中,角所对的边分别是满足.
(1)求角的大小;
(2)若边上的中线AD的长为,求的面积.
18.(本题满分17分)
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下:拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序,经过一段时间,等其记忆淡忘后,再让其品尝这瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.
现设,分别以表示第一次排序时被排为1,2,3的三种酒在第二次排序时的序号,并令,则是对两次排序的偏离程度
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